Номер 223, страница 33, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 223, страница 33.

Условие.

223. [199] Два человека массами 60 и 70 кг по очереди спрыгивают со скоростью 10 м/с с подвижной платформы массой 300 кг.

1) Какой человек должен спрыгнуть первым, чтобы платформа начала движение с максимальной скоростью?

2) Чему будет равна скорость платформы, если оба человека спрыгнут одновременно?

Решение.

Дано

Масса первого человека: $m_1 = 60 \text{ кг}$

Масса второго человека: $m_2 = 70 \text{ кг}$

Масса платформы: $M = 300 \text{ кг}$

Скорость, с которой спрыгивают люди (относительно платформы): $u = 10 \text{ м/с}$

Начальная скорость платформы с людьми: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

1) Какой человек должен спрыгнуть первым для достижения платформой максимальной скорости.

2) Скорость платформы $v_{одн}$, если оба человека спрыгнут одновременно.

Решение

Для решения задачи используем закон сохранения импульса. Так как изначально платформа с людьми покоится, начальный импульс системы равен нулю. Ось $Ox$ направим в сторону движения платформы. Тогда люди спрыгивают в противоположную сторону, и их скорость относительно платформы будет равна $-u$.

1) Какой человек должен спрыгнуть первым, чтобы платформа начала движение с максимальной скоростью?

Рассмотрим два случая.

Случай А: Первым спрыгивает более легкий человек ($m_1$).

1. Первый прыжок. Начальный импульс системы (платформа + 2 человека) равен нулю. После прыжка человека массой $m_1$ платформа вместе со вторым человеком ($M+m_2$) приобретает скорость $v_A'$. Скорость спрыгнувшего человека относительно земли будет $v_1 = v_A' - u$.

Закон сохранения импульса: $0 = m_1(v_A' - u) + (M + m_2)v_A'$

Отсюда находим скорость платформы после первого прыжка:

$m_1u = (m_1 + M + m_2)v_A' \Rightarrow v_A' = \frac{m_1u}{M + m_1 + m_2}$

$v_A' = \frac{60 \cdot 10}{300 + 60 + 70} = \frac{600}{430} \approx 1,40 \text{ м/с}$

2. Второй прыжок. Теперь система (платформа + второй человек) имеет начальный импульс $p_A' = (M + m_2)v_A'$. После прыжка второго человека платформа приобретает конечную скорость $v_{fA}$. Скорость второго человека относительно земли будет $v_2 = v_{fA} - u$.

Закон сохранения импульса: $(M + m_2)v_A' = m_2(v_{fA} - u) + Mv_{fA}$

$(M + m_2)v_A' + m_2u = (M + m_2)v_{fA} \Rightarrow v_{fA} = v_A' + \frac{m_2u}{M+m_2}$

Подставляем значение $v_A'$:

$v_{fA} = \frac{m_1u}{M + m_1 + m_2} + \frac{m_2u}{M+m_2}$

$v_{fA} = \frac{600}{430} + \frac{70 \cdot 10}{300+70} = \frac{600}{430} + \frac{700}{370} \approx 1,40 + 1,89 = 3,29 \text{ м/с}$

Случай Б: Первым спрыгивает более тяжелый человек ($m_2$).

1. Первый прыжок. По аналогии со случаем А, находим скорость платформы $v_B'$ после прыжка человека массой $m_2$.

$v_B' = \frac{m_2u}{M + m_1 + m_2}$

$v_B' = \frac{70 \cdot 10}{300 + 60 + 70} = \frac{700}{430} \approx 1,63 \text{ м/с}$

2. Второй прыжок. Начальный импульс системы (платформа + первый человек) равен $p_B' = (M + m_1)v_B'$. Конечная скорость платформы $v_{fB}$.

Закон сохранения импульса: $(M + m_1)v_B' = m_1(v_{fB} - u) + Mv_{fB}$

$v_{fB} = v_B' + \frac{m_1u}{M+m_1}$

Подставляем значение $v_B'$:

$v_{fB} = \frac{m_2u}{M + m_1 + m_2} + \frac{m_1u}{M+m_1}$

$v_{fB} = \frac{700}{430} + \frac{60 \cdot 10}{300+60} = \frac{700}{430} + \frac{600}{360} \approx 1,63 + 1,67 = 3,30 \text{ м/с}$

Сравнивая конечные скорости $v_{fA} \approx 3,29 \text{ м/с}$ и $v_{fB} \approx 3,30 \text{ м/с}$, видим, что $v_{fB} > v_{fA}$. Максимальная скорость достигается, если первым спрыгивает более тяжелый человек.

Ответ: Чтобы платформа начала движение с максимальной скоростью, первым должен спрыгнуть человек массой 70 кг.

2) Чему будет равна скорость платформы, если оба человека спрыгнут одновременно?

В этом случае оба человека (общей массой $m_1+m_2$) спрыгивают одновременно. Начальный импульс системы равен нулю. Пусть платформа приобретает скорость $v_{одн}$. Тогда скорость людей относительно земли будет $v_{людей} = v_{одн} - u$.

Применяем закон сохранения импульса:

$0 = (m_1 + m_2)(v_{одн} - u) + Mv_{одн}$

Раскрываем скобки и выражаем $v_{одн}$:

$(m_1 + m_2)u = (M + m_1 + m_2)v_{одн}$

$v_{одн} = \frac{(m_1 + m_2)u}{M + m_1 + m_2}$

Подставляем числовые значения:

$v_{одн} = \frac{(60 + 70) \cdot 10}{300 + 60 + 70} = \frac{130 \cdot 10}{430} = \frac{1300}{430} \approx 3,02 \text{ м/с}$

Ответ: Если оба человека спрыгнут одновременно, скорость платформы будет равна примерно 3,02 м/с.