Номер 221, страница 33, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 221, страница 33.

Условие.

221. [197] Граната, летевшая горизонтально со скоростью 10 м/с, разорвалась на высоте 8 м над землёй на два осколка. Отношение масс осколков $m_1 : m_2 = 2 : 3$. Меньший осколок полетел вниз и упал под местом разрыва, при этом его конечная скорость была 25 м/с. Определите дальность полёта большего осколка.

Решение.

Дано:

$v_0 = 10 \text{ м/с}$

$h = 8 \text{ м}$

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$

$v_{1, \text{кон}} = 25 \text{ м/с}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$L_2$ — дальность полёта большего осколка.

Решение:

1. Обозначим массы осколков. Так как отношение масс $m_1 : m_2 = 2 : 3$, можно принять $m_1 = 2m$ (меньший осколок) и $m_2 = 3m$ (больший осколок). Тогда масса всей гранаты до разрыва $M = m_1 + m_2 = 5m$.

2. Разрыв гранаты — это внутренний процесс для системы «граната», поэтому для него выполняется закон сохранения импульса. Запишем его в проекциях на горизонтальную (Оx) и вертикальную (Оy) оси. Начальная скорость гранаты $\vec{v}_0$ направлена горизонтально, её вертикальная составляющая равна нулю.

Ось Ox (горизонтальная):

$M v_0 = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$

По условию, меньший осколок ($m_1$) упал под местом разрыва. Это означает, что его горизонтальная скорость сразу после взрыва была равна нулю: $v_{1x} = 0$.

$(5m) \cdot 10 = (2m) \cdot 0 + (3m) \cdot v_{2x}$

$50m = 3m \cdot v_{2x}$

$v_{2x} = \frac{50}{3} \text{ м/с} \approx 16.67 \text{ м/с}$

Это горизонтальная скорость большего осколка сразу после взрыва.

3. Найдём вертикальную скорость меньшего осколка ($v_{1y}$) сразу после взрыва. Для этого используем закон сохранения энергии для его полёта от момента разрыва до падения на землю.

Начальная энергия (сразу после взрыва на высоте $\text{h}$): $E_{\text{нач}} = \frac{m_1 v_{1y}^2}{2} + m_1gh$

Конечная энергия (при падении на землю): $E_{\text{кон}} = \frac{m_1 v_{1, \text{кон}}^2}{2}$

$E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}} \implies \frac{m_1 v_{1y}^2}{2} + m_1gh = \frac{m_1 v_{1, \text{кон}}^2}{2}$

$v_{1y}^2 + 2gh = v_{1, \text{кон}}^2$

$v_{1y} = \sqrt{v_{1, \text{кон}}^2 - 2gh} = \sqrt{25^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8} = \sqrt{625 - 160} = \sqrt{465} \text{ м/с}$

$v_{1y} \approx 21.56 \text{ м/с}$. Эта скорость направлена вниз.

4. Теперь применим закон сохранения импульса для вертикальной оси Oy (направим её вверх). Начальный импульс по вертикали равен нулю.

$0 = m_1 v_{1y}' + m_2 v_{2y}$

Здесь $v_{1y}'$ и $v_{2y}$ — вертикальные скорости осколков сразу после взрыва. Поскольку меньший осколок полетел вниз, его скорость будет отрицательной: $v_{1y}' = -v_{1y} = -\sqrt{465} \text{ м/с}$.

$0 = (2m)(-\sqrt{465}) + (3m)v_{2y}$

$3m \cdot v_{2y} = 2m\sqrt{465}$

$v_{2y} = \frac{2}{3}\sqrt{465} \text{ м/с} \approx 14.38 \text{ м/с}$. Знак положительный, значит, скорость большего осколка направлена вверх.

5. Найдём время полёта $\text{t}$ большего осколка. Его движение является движением тела, брошенного с высоты $\text{h}$ с начальной скоростью, имеющей горизонтальную ($v_{2x}$) и вертикальную ($v_{2y}$) составляющие.

Запишем уравнение для вертикальной координаты (ось Oy направлена вверх, начало на земле):

$y(t) = h + v_{2y}t - \frac{gt^2}{2}$

В момент падения $y(t) = 0$.

$0 = 8 + \frac{2}{3}\sqrt{465} \cdot t - \frac{10}{2}t^2$

$5t^2 - \frac{2\sqrt{465}}{3}t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$t = \frac{\frac{2\sqrt{465}}{3} \pm \sqrt{(\frac{2\sqrt{465}}{3})^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8)}}{2 \cdot 5} = \frac{\frac{2\sqrt{465}}{3} \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 465}{9} + 160}}{10}$

$t = \frac{\frac{2\sqrt{465}}{3} \pm \sqrt{\frac{1860}{9} + \frac{1440}{9}}}{10} = \frac{\frac{2\sqrt{465}}{3} \pm \frac{\sqrt{3300}}{3}}{10} = \frac{2\sqrt{465} + 10\sqrt{33}}{30}$

Мы выбираем знак «+», так как время не может быть отрицательным.

$t \approx \frac{2 \cdot 21.56 + 10 \cdot 5.74}{30} = \frac{43.12 + 57.4}{30} = \frac{100.52}{30} \approx 3.35 \text{ с}$

6. Наконец, определим дальность полёта $L_2$ большего осколка:

$L_2 = v_{2x} \cdot t$

$L_2 = \frac{50}{3} \cdot 3.35 \approx 16.67 \cdot 3.35 \approx 55.8 \text{ м}$

Ответ: дальность полёта большего осколка составляет примерно 55.8 м.