Номер 254, страница 37, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работы сил тяжести и упругости. Потенциальная энергия - номер 254, страница 37.

Условие.

254. [229] На нерастяжимой нити длиной 1 м висит шарик. Нить отклоняют на угол, равный 60°, и отпускают. Определите скорость шарика, когда он проходит положение равновесия.

Решение.

Дано:

Длина нити, $l = 1$ м

Угол отклонения, $\alpha = 60^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Начальная скорость, $v_1 = 0$ м/с

Найти:

Скорость шарика в положении равновесия, $\text{v}$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения механической энергии. В системе, состоящей из шарика и Земли, полная механическая энергия сохраняется, так как сила натяжения нити перпендикулярна вектору скорости и работы не совершает, а сопротивление воздуха мы не учитываем. Энергия переходит из потенциальной в кинетическую.

Запишем закон сохранения энергии для двух состояний системы: начального (в точке максимального отклонения) и конечного (в положении равновесия).

$E_1 = E_2$

где $E_1$ и $E_2$ - полные механические энергии в начальном и конечном состояниях соответственно.

Полная механическая энергия является суммой кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий: $E = E_k + E_p$.

Следовательно, $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика (положение равновесия).

В начальном положении (состояние 1) шарик отклонен на угол $\alpha$ и его отпускают, значит, начальная скорость $v_1 = 0$. Кинетическая энергия в этот момент равна нулю: $E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2} = 0$.

Потенциальная энергия в начальном положении зависит от высоты $\text{h}$ подъема шарика относительно нулевого уровня. Высоту $\text{h}$ можно найти из геометрических соображений. Если $\text{l}$ - длина нити, то высота шарика над положением равновесия равна:$h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Тогда начальная потенциальная энергия равна $E_{p1} = mgh = mgl(1 - \cos\alpha)$.

В конечном положении (состояние 2) шарик проходит положение равновесия. На этом уровне высота $h=0$, следовательно, потенциальная энергия $E_{p2} = 0$.

Кинетическая энергия в этот момент максимальна и равна $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{v}$ — искомая скорость.

Подставляем полученные выражения в закон сохранения энергии:

$0 + mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{mv^2}{2} + 0$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$gl(1 - \cos\alpha) = \frac{v^2}{2}$

Отсюда выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)$

$v = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу.

$\cos(60^\circ) = 0.5$

$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 1 \text{ м} \cdot (1 - 0.5)} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.5} \frac{м}{с} = \sqrt{9.8} \frac{м}{с} \approx 3.13 \frac{м}{с}$

Ответ: скорость шарика, когда он проходит положение равновесия, составляет примерно $3.13$ м/с.