Номер 251, страница 37, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работы сил тяжести и упругости. Потенциальная энергия - номер 251, страница 37.

Условие.

251. [226] Кубик массой $\text{m}$ поднимают на вершину наклонной плоскости на высоту $\text{h}$, а затем отпускают, и он скатывается с неё. Определите:

1) работу при подъёме кубика;

2) работу силы тяжести на всём пути кубика;

3) скорость кубика у основания наклонной плоскости. Трением можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Масса кубика: $\text{m}$

Высота наклонной плоскости: $\text{h}$

Найти:

1) $A_{подъема}$ — работа при подъеме кубика;

2) $A_{тяж}$ — работа силы тяжести на всём пути;

3) $\text{v}$ — скорость кубика у основания наклонной плоскости.

Решение:

1) работу при подъеме кубика;

Работа, совершаемая внешней силой при подъеме кубика на высоту $\text{h}$ без изменения его кинетической энергии, равна изменению его потенциальной энергии. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту $\text{h}$ относительно нулевого уровня, вычисляется по формуле:

$E_п = mgh$

где $\text{m}$ — масса кубика, $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Примем начальную высоту за нулевой уровень ($E_{п_{начальная}} = 0$). Тогда работа при подъеме будет равна:

$A_{подъема} = \Delta E_п = E_{п_{конечная}} - E_{п_{начальная}} = mgh - 0 = mgh$

Ответ: $A_{подъема} = mgh$.

2) работу силы тяжести на всём пути кубика;

Весь путь кубика состоит из двух частей: подъем на высоту $\text{h}$ и скатывание обратно к основанию. Сила тяжести является консервативной силой, и ее работа на замкнутом пути (когда начальная и конечная точки совпадают) равна нулю. В данном случае кубик начинает движение от основания и возвращается к основанию. Следовательно, суммарная работа силы тяжести равна нулю.

Рассчитаем работу на каждом этапе:

а) При подъеме на высоту $\text{h}$ сила тяжести $mg$ направлена противоположно перемещению. Работа силы тяжести отрицательна:

$A_{тяж, подъем} = -mgh$

б) При скатывании с высоты $\text{h}$ работа силы тяжести положительна и равна изменению потенциальной энергии со знаком минус:

$A_{тяж, спуск} = -(E_{п_{конечная}} - E_{п_{начальная}}) = -(0 - mgh) = mgh$

Суммарная работа на всём пути:

$A_{тяж} = A_{тяж, подъем} + A_{тяж, спуск} = -mgh + mgh = 0$

Ответ: $A_{тяж} = 0$.

3) скорость кубика у основания наклонной плоскости.

Когда кубик скатывается с наклонной плоскости, его движение описывается законом сохранения механической энергии, так как трением можно пренебречь. В начальный момент времени на вершине наклонной плоскости кубик покоится (начальная скорость равна нулю) и обладает потенциальной энергией $E_п = mgh$.

Полная механическая энергия на вершине:

$E_{верх} = E_п + E_к = mgh + 0 = mgh$

У основания наклонной плоскости высота равна нулю ($E_п = 0$), а кубик обладает кинетической энергией $E_к = \frac{mv^2}{2}$.

Полная механическая энергия у основания:

$E_{низ} = E_п + E_к = 0 + \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения энергии:

$E_{верх} = E_{низ}$

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ и выразим скорость $\text{v}$:

$gh = \frac{v^2}{2}$

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Ответ: $v = \sqrt{2gh}$.