Номер 266, страница 39, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 266, страница 39.

Условие.

266. [241] Определите деформацию пружины детского пистолета, из которого шарик массой 20 г вылетает со скоростью 6 м/с. В одном случае дуло пистолета расположено горизонтально, в другом — вертикально. Жёсткость пружины $10^2$ Н/м. Объясните результат.

Решение.

Дано:

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$
$v = 6 \text{ м/с}$
$k = 10^2 \text{ Н/м} = 100 \text{ Н/м}$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$x_1$ - деформация пружины в горизонтальном положении
$x_2$ - деформация пружины в вертикальном положении

Решение:

Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шарика (а в вертикальном случае — ещё и в потенциальную энергию шарика).

Дуло пистолета расположено горизонтально

В этом случае изменением потенциальной энергии шарика в поле тяготения Земли можно пренебречь. Вся потенциальная энергия упруго деформированной пружины переходит в кинетическую энергию шарика.
$E_{пружины} = E_{кинетическая}$
$\frac{kx_1^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$
Отсюда выразим деформацию $x_1$:
$kx_1^2 = mv^2$
$x_1 = \sqrt{\frac{mv^2}{k}}$
Подставим числовые значения:
$x_1 = \sqrt{\frac{0.02 \text{ кг} \cdot (6 \text{ м/с})^2}{100 \text{ Н/м}}} = \sqrt{\frac{0.02 \cdot 36}{100}} = \sqrt{\frac{0.72}{100}} = \sqrt{0.0072} \approx 0.085 \text{ м}$
$x_1 \approx 8.5 \text{ см}$

Ответ: деформация пружины составляет примерно 8.5 см.

Дуло пистолета расположено вертикально

В этом случае при выстреле вверх потенциальная энергия пружины переходит не только в кинетическую энергию шарика, но и в его потенциальную энергию, так как шарик поднимается на высоту, равную величине деформации пружины $x_2$.
$E_{пружины} = E_{кинетическая} + E_{потенциальная}$
$\frac{kx_2^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgx_2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x_2$:
$\frac{k}{2}x_2^2 - mgx_2 - \frac{mv^2}{2} = 0$
Подставим числовые значения:
$\frac{100}{2}x_2^2 - (0.02 \cdot 9.8)x_2 - \frac{0.02 \cdot 6^2}{2} = 0$
$50x_2^2 - 0.196x_2 - 0.36 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Находим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-0.196)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-0.36) = 0.038416 + 72 = 72.038416$
$\sqrt{D} \approx 8.488$
Находим корень (деформация не может быть отрицательной, поэтому берем только положительное значение):
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{0.196 + 8.488}{2 \cdot 50} = \frac{8.684}{100} \approx 0.087 \text{ м}$
$x_2 \approx 8.7 \text{ см}$

Ответ: деформация пружины составляет примерно 8.7 см.

Объяснение результата

Деформация пружины в вертикальном положении ($8.7 \text{ см}$) оказалась немного больше, чем в горизонтальном ($8.5 \text{ см}$). Это объясняется тем, что при выстреле вверх пружина должна совершить дополнительную работу против силы тяжести, чтобы поднять шарик на высоту, равную деформации пружины. Следовательно, для сообщения шарику той же самой скорости, что и в горизонтальном случае, требуется большая начальная потенциальная энергия пружины, а значит, и большая ее деформация.