Номер 272, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 272, страница 40.

Условие.

272. [247] Тело массой $\text{m}$ начинает соскальзывать с высоты $\text{h}$ по гладкому желобу, переходящему в петлю радиусом $\text{R}$ (рис. 54). Определите минимальную высоту, при которой тело не оторвётся от желоба ни в одной точке траектории.

Рис. 54

Решение.

Дано:

Масса тела: $\text{m}$

Радиус петли: $\text{R}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Трение отсутствует.

Найти:

Минимальная высота $h_{min}$

Решение:

Для решения задачи используем закон сохранения механической энергии и второй закон Ньютона для движения по окружности.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем горизонтальную поверхность, на которой находится петля. Начальная полная механическая энергия тела, когда оно находится на высоте $\text{h}$ и покоится, равна его потенциальной энергии:

$E_{нач} = mgh$

Чтобы тело не оторвалось от желоба, оно должно пройти верхнюю точку петли. В верхней точке петли, на высоте $2R$, на тело действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Согласно второму закону Ньютона, сумма этих сил создает центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ — скорость тела в верхней точке:

$mg + N = m \frac{v^2}{R}$

Тело не отрывается от желоба, пока сила реакции опоры $\text{N}$ неотрицательна, то есть $N \ge 0$. Минимальная высота $\text{h}$ соответствует минимально необходимой скорости $\text{v}$ в верхней точке. Этот предельный случай наступает, когда сила реакции опоры обращается в нуль ($N=0$). В этот момент тело почти теряет контакт с желобом:

$mg + 0 = m \frac{v_{min}^2}{R}$

Отсюда находим квадрат минимально допустимой скорости в верхней точке петли:

$v_{min}^2 = gR$

Теперь запишем закон сохранения энергии. Полная механическая энергия в верхней точке петли равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

$E_{кон} = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_{min}^2$

Так как трения нет, полная механическая энергия сохраняется ($E_{нач} = E_{кон}$). Приравниваем выражения для энергии в начальный момент и в верхней точке петли при минимальной высоте $h_{min}$:

$mgh_{min} = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_{min}^2$

Подставим найденное значение $v_{min}^2 = gR$ в уравнение сохранения энергии:

$mgh_{min} = 2mgR + \frac{1}{2}m(gR)$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$h_{min} = 2R + \frac{1}{2}R$

$h_{min} = \frac{5}{2}R = 2.5R$

Ответ: Минимальная высота, при которой тело не оторвётся от жёлоба, равна $h_{min} = 2.5R$.