Номер 276, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 276, страница 40.

Условие.

276. [251] Подвижный трамплин (рис. 57) массой $\text{M}$, расположенный на гладкой поверхности, имеет горизонтальный участок на высоте $\text{h}$. С трамплина скатывается небольшой кубик массой $\text{m}$ с высоты $\text{H}$. На каком расстоянии от трамплины упадёт кубик? Трение не учитывайте.

Рис. 57

Решение.

Дано

Масса трамплина: $\text{M}$
Масса кубика: $\text{m}$
Начальная высота кубика: $\text{H}$
Высота горизонтального участка трамплина: $\text{h}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти

Расстояние от трамплина, на котором упадет кубик: $\text{L}$

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из трамплина и кубика. Так как по условию поверхность гладкая и трение отсутствует, на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы. Это означает, что для системы выполняются закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось и закон сохранения механической энергии.

1. Закон сохранения импульса.

В начальный момент времени и кубик, и трамплин покоятся, поэтому суммарный импульс системы равен нулю.Когда кубик съезжает на горизонтальный участок трамплина на высоте $\text{h}$, он имеет скорость $\text{v}$ относительно земли, а трамплин – скорость $\text{V}$ относительно земли.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:$0 = mv + MV$Отсюда можно выразить скорость трамплина $\text{V}$:$V = -\frac{m}{M}v$Знак "минус" показывает, что трамплин движется в сторону, противоположную движению кубика.

2. Закон сохранения энергии.

В начальный момент времени полная механическая энергия системы равна потенциальной энергии кубика на высоте $\text{H}$:$E_{нач} = mgH$В момент, когда кубик находится на высоте $\text{h}$, его скорость равна $\text{v}$, а скорость трамплина – $\text{V}$. Полная механическая энергия системы в этот момент складывается из потенциальной энергии кубика и кинетических энергий кубика и трамплина:$E_{кон} = mgh + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$

Приравнивая начальную и конечную энергии, получаем:$mgH = mgh + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$Перенесем $mgh$ в левую часть и подставим выражение для $\text{V}$ из закона сохранения импульса:$mg(H-h) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M(-\frac{m}{M}v)^2$$mg(H-h) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\frac{m^2}{M^2}v^2$$mg(H-h) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{m^2}{M}v^2$Вынесем $\frac{1}{2}v^2$ за скобки:$mg(H-h) = \frac{1}{2}v^2(m + \frac{m^2}{M}) = \frac{1}{2}v^2 m(1 + \frac{m}{M}) = \frac{1}{2}v^2 m\frac{M+m}{M}$

Выразим квадрат скорости кубика $v^2$:$v^2 = \frac{2g(H-h)M}{M+m}$Тогда скорость кубика относительно земли равна:$v = \sqrt{\frac{2g(H-h)M}{M+m}}$

3. Движение кубика после отрыва от трамплина.

После отрыва от трамплина кубик движется по параболе. Его движение можно разложить на горизонтальное (равномерное) и вертикальное (равноускоренное).Найдем время падения $\text{t}$ с высоты $\text{h}$. Начальная вертикальная скорость равна нулю.$h = \frac{gt^2}{2}$Отсюда время падения:$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

За это время кубик пролетит по горизонтали расстояние $L_{куб} = vt$, а трамплин переместится на расстояние $L_{трамплин} = Vt$. Искомое расстояние $\text{L}$ — это расстояние между кубиком и краем трамплина в момент падения кубика. Оно равно:$L = |L_{куб} - L_{трамплин}| = |vt - Vt| = |(v-V)t|$Скорость $v-V$ — это скорость кубика относительно трамплина в момент отрыва.$v_{отн} = v - V = v - (-\frac{m}{M}v) = v(1 + \frac{m}{M}) = v\frac{M+m}{M}$

Теперь найдем расстояние $\text{L}$:$L = v_{отн} \cdot t = v\frac{M+m}{M} \sqrt{\frac{2h}{g}}$Подставим найденное ранее выражение для скорости $\text{v}$:$L = \sqrt{\frac{2g(H-h)M}{M+m}} \cdot \frac{M+m}{M} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$Объединим все под один корень:$L = \sqrt{\frac{2g(H-h)M}{M+m} \cdot \left(\frac{M+m}{M}\right)^2 \cdot \frac{2h}{g}}$$L = \sqrt{\frac{2g(H-h)M}{M+m} \cdot \frac{(M+m)^2}{M^2} \cdot \frac{2h}{g}}$Сократим одинаковые множители ($\text{g}$, $\text{M}$, $M+m$):$L = \sqrt{2(H-h) \cdot \frac{M+m}{M} \cdot 2h}$$L = \sqrt{4h(H-h)\frac{M+m}{M}} = 2\sqrt{h(H-h)(1 + \frac{m}{M})}$

Ответ: $L = 2\sqrt{h(H-h)(1 + \frac{m}{M})}$