Номер 281, страница 41, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 281, страница 41.

Условие.

281. [256] Два тела массами $m_1 = 1 \text{ кг}$ и $m_2 = 5 \text{ кг}$ соединены нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через блок (рис. 60). Если толкнуть второе тело вправо, то первое опустится на 20 см; если его толкнуть влево, сообщив ему ту же скорость, то первое тело поднимется на 10 см. Определите коэффициент трения между вторым телом и плоскостью.

Рис. 60

Решение.

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 5$ кг

$h_1 = 20$ см

$h_2 = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 0.2$ м

$h_2 = 0.1$ м

Найти:

$\mu$ - ?

Решение:

Воспользуемся законом изменения механической энергии. Изменение полной механической энергии системы тел равно работе внешних неконсервативных сил (в данном случае, силы трения). Пусть начальная скорость, сообщенная телу $m_2$, в обоих случаях равна $v_0$. Тогда начальная кинетическая энергия системы тел в обоих случаях одинакова и равна $K_0 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_0^2$. Конечная скорость системы в обоих случаях равна нулю, следовательно, конечная кинетическая энергия равна нулю.

Рассмотрим первый случай, когда тело $m_2$ толкают вправо. Тело $m_1$ опускается на высоту $h_1$, и его потенциальная энергия уменьшается на $\Delta U_1 = -m_1 g h_1$. Тело $m_2$ проходит путь $h_1$, и работа силы трения, действующей на него, отрицательна: $A_{тр1} = -F_{тр} \cdot h_1 = -\mu N h_1 = -\mu m_2 g h_1$. Закон изменения энергии для этого случая: $\Delta K + \Delta U_1 = A_{тр1}$, где $\Delta K = 0 - K_0 = -K_0$.

$-K_0 - m_1 g h_1 = -\mu m_2 g h_1$

Отсюда выразим начальную кинетическую энергию:

$K_0 = \mu m_2 g h_1 - m_1 g h_1 = (\mu m_2 - m_1)g h_1$ (1)

Рассмотрим второй случай, когда тело $m_2$ толкают влево. Тело $m_1$ поднимается на высоту $h_2$, и его потенциальная энергия увеличивается на $\Delta U_2 = m_1 g h_2$. Тело $m_2$ проходит путь $h_2$, и работа силы трения: $A_{тр2} = -F_{тр} \cdot h_2 = -\mu m_2 g h_2$. Закон изменения энергии: $\Delta K + \Delta U_2 = A_{тр2}$.

$-K_0 + m_1 g h_2 = -\mu m_2 g h_2$

Выразим начальную кинетическую энергию для второго случая:

$K_0 = m_1 g h_2 + \mu m_2 g h_2 = (m_1 + \mu m_2)g h_2$ (2)

Так как начальная кинетическая энергия $K_0$ в обоих случаях одинакова, приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$(\mu m_2 - m_1)g h_1 = (m_1 + \mu m_2)g h_2$

Сократим на ускорение свободного падения $\text{g}$ и раскроем скобки:

$\mu m_2 h_1 - m_1 h_1 = m_1 h_2 + \mu m_2 h_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu m_2 h_1 - \mu m_2 h_2 = m_1 h_1 + m_1 h_2$

$\mu m_2 (h_1 - h_2) = m_1 (h_1 + h_2)$

Отсюда находим формулу для коэффициента трения:

$\mu = \frac{m_1 (h_1 + h_2)}{m_2 (h_1 - h_2)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\mu = \frac{1 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м} + 0.1 \text{ м})}{5 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м} - 0.1 \text{ м})} = \frac{1 \cdot 0.3}{5 \cdot 0.1} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$

Ответ: коэффициент трения между вторым телом и плоскостью равен 0.6.