Номер 285, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 285, страница 42.

Условие.

285. [871] Определите скорости шаров после абсолютно упругого прямого удара. Массы шаров равны 1 и 3 кг, скорости до удара равны 5 и 2 м/с. Рассмотрите два случая:

1) шары движутся навстречу друг другу;

2) один шар догоняет другой.

Решение.

Дано:

Масса первого шара, $m_1 = 1 \text{ кг}$

Масса второго шара, $m_2 = 3 \text{ кг}$

Модуль скорости первого шара до удара, $|v_{1,0}| = 5 \text{ м/с}$

Модуль скорости второго шара до удара, $|v_{2,0}| = 2 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорости шаров после удара, $v_1$ и $v_2$ - ?

Решение:

Задача описывает абсолютно упругий прямой (центральный) удар двух шаров. Для такой системы выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения импульса в проекции на ось X, вдоль которой происходит движение:

$m_1 v_{1,0x} + m_2 v_{2,0x} = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_{1,0x}^2}{2} + \frac{m_2 v_{2,0x}^2}{2} = \frac{m_1 v_{1x}^2}{2} + \frac{m_2 v_{2x}^2}{2}$

Решение этой системы уравнений для скоростей $v_{1x}$ и $v_{2x}$ после столкновения приводит к следующим формулам:

$v_{1x} = \frac{(m_1 - m_2)v_{1,0x} + 2m_2 v_{2,0x}}{m_1 + m_2}$

$v_{2x} = \frac{2m_1 v_{1,0x} + (m_2 - m_1)v_{2,0x}}{m_1 + m_2}$

Направим ось X вправо и будем рассматривать проекции скоростей на эту ось.

1) шары движутся навстречу друг другу;

В этом случае скорости шаров до удара направлены в противоположные стороны. Пусть первый шар движется вдоль оси X, тогда его начальная скорость $v_{1,0x} = 5 \text{ м/с}$. Второй шар движется навстречу, поэтому его начальная скорость $v_{2,0x} = -2 \text{ м/с}$.

Подставим значения в формулы для скоростей после удара:

$v_{1x} = \frac{(1 \text{ кг} - 3 \text{ кг}) \cdot 5 \text{ м/с} + 2 \cdot 3 \text{ кг} \cdot (-2 \text{ м/с})}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}} = \frac{-2 \cdot 5 - 12}{4} \text{ м/с} = \frac{-10 - 12}{4} \text{ м/с} = \frac{-22}{4} \text{ м/с} = -5,5 \text{ м/с}$

$v_{2x} = \frac{2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с} + (3 \text{ кг} - 1 \text{ кг}) \cdot (-2 \text{ м/с})}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}} = \frac{10 + 2 \cdot (-2)}{4} \text{ м/с} = \frac{10 - 4}{4} \text{ м/с} = \frac{6}{4} \text{ м/с} = 1,5 \text{ м/с}$

Знак «минус» у скорости $v_{1x}$ означает, что после удара первый шар будет двигаться в направлении, противоположном первоначальному (против оси X). Знак «плюс» у скорости $v_{2x}$ означает, что второй шар также изменит направление своего движения на противоположное и будет двигаться вдоль оси X.

Ответ: скорость первого шара после удара равна 5,5 м/с, второго — 1,5 м/с. Шары разлетятся в противоположные стороны.

2) один шар догоняет другой.

В этом случае оба шара движутся в одном направлении. Поскольку скорость первого шара больше, он догоняет второй. Направим ось X в сторону их движения. Тогда обе начальные скорости будут положительными: $v_{1,0x} = 5 \text{ м/с}$ и $v_{2,0x} = 2 \text{ м/с}$.

Подставим значения в формулы для скоростей после удара:

$v_{1x} = \frac{(1 \text{ кг} - 3 \text{ кг}) \cdot 5 \text{ м/с} + 2 \cdot 3 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}} = \frac{-2 \cdot 5 + 12}{4} \text{ м/с} = \frac{-10 + 12}{4} \text{ м/с} = \frac{2}{4} \text{ м/с} = 0,5 \text{ м/с}$

$v_{2x} = \frac{2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с} + (3 \text{ кг} - 1 \text{ кг}) \cdot 2 \text{ м/с}}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}} = \frac{10 + 2 \cdot 2}{4} \text{ м/с} = \frac{10 + 4}{4} \text{ м/с} = \frac{14}{4} \text{ м/с} = 3,5 \text{ м/с}$

Обе скорости после удара положительны, значит, шары продолжат движение в том же направлении. Первый, более легкий шар, замедлится, а второй, более тяжелый, ускорится.

Ответ: скорость первого шара после удара равна 0,5 м/с, второго — 3,5 м/с. Шары продолжат движение в том же направлении.