Номер 288, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 288, страница 42.

Условие.

288. [874] При каких значениях отношения $m_1 / m_2$ шары, движущиеся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, после прямого удара разлетаются в разные стороны?

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1$
Масса второго шара: $m_2$
Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1$
Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2$
Шары движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями: $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$
После удара шары разлетаются в разные стороны.
Удар прямой.

Найти:

Значения отношения $\frac{m_1}{m_2}$.

Решение:

Рассмотрим одномерное (прямое) столкновение двух шаров. Направим ось OX вправо, по направлению начального движения первого шара. Тогда проекции начальных скоростей шаров на эту ось будут:

$v_1 = v$

$v_2 = -v$

Поскольку в задаче не указан тип удара (упругий или неупругий), будем считать его абсолютно упругим, так как это является стандартным предположением для подобных задач, если не оговорено иное. При абсолютно упругом столкновении сохраняются и импульс, и кинетическая энергия системы шаров.

Скорости шаров после столкновения ($u_1$ и $u_2$) для одномерного упругого удара можно найти по известным формулам:

$u_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

$u_2 = \frac{2m_1 v_1 + (m_2 - m_1)v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим наши начальные скорости $v_1 = v$ и $v_2 = -v$:

$u_1 = \frac{(m_1 - m_2)v + 2m_2 (-v)}{m_1 + m_2} = \frac{v(m_1 - m_2 - 2m_2)}{m_1 + m_2} = v \frac{m_1 - 3m_2}{m_1 + m_2}$

$u_2 = \frac{2m_1 v + (m_2 - m_1)(-v)}{m_1 + m_2} = \frac{v(2m_1 - m_2 + m_1)}{m_1 + m_2} = v \frac{3m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$

По условию, после удара шары разлетаются в разные стороны. Это означает, что их скорости направлены в противоположные стороны, то есть знаки проекций их скоростей на ось OX различны. Математически это условие можно записать как произведение скоростей меньше нуля:

$u_1 \cdot u_2 < 0$

Подставим полученные выражения для $u_1$ и $u_2$:

$\left(v \frac{m_1 - 3m_2}{m_1 + m_2}\right) \cdot \left(v \frac{3m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) < 0$

$\frac{v^2}{(m_1 + m_2)^2} (m_1 - 3m_2)(3m_1 - m_2) < 0$

Так как множитель $\frac{v^2}{(m_1 + m_2)^2}$ всегда положителен (массы и квадрат скорости не могут быть отрицательными), неравенство сводится к следующему:

$(m_1 - 3m_2)(3m_1 - m_2) < 0$

Разделим обе части неравенства на $m_2^2$ (что тоже является положительной величиной):

$\left(\frac{m_1}{m_2} - 3\right)\left(3\frac{m_1}{m_2} - 1\right) < 0$

Пусть $x = \frac{m_1}{m_2}$. Тогда неравенство принимает вид:

$(x - 3)(3x - 1) < 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(3x - 1) = 0$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 1/3$.

Графиком функции $y = (x - 3)(3x - 1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны в интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства:

$\frac{1}{3} < x < 3$

Возвращаясь к отношению масс, получаем:

$\frac{1}{3} < \frac{m_1}{m_2} < 3$

Таким образом, для того чтобы шары после столкновения разлетелись в разные стороны, отношение массы первого шара к массе второго должно быть больше 1/3 и меньше 3.

Ответ: Шары разлетятся в разные стороны при условии, что отношение их масс $m_1/m_2$ находится в интервале $\frac{1}{3} < \frac{m_1}{m_2} < 3$.