Номер 291, страница 43, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 291, страница 43.

Условие.

291. [877] Шарик массой $m_1$, равной877 $1 \text{ кг}$, висит на нити длиной $0,5 \text{ м}$. Его отклоняют так, что нить составляет с вертикалью угол $60^{\circ}$, и отпускают (рис. 62). Когда шарик проходит положение равновесия, он ударяет шарик массой $m_2$, равной $2 \text{ кг}$, лежащий на краю стола высотой $1 \text{ м}$. На каком расстоянии от стола упадет второй шарик?

Рис. 62

Решение.

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$L = 0,5$ м

$\alpha = 60^\circ$

$m_2 = 2$ кг

$H = 1$ м

$g \approx 10$ м/с²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{S}$ — расстояние от стола, на котором упадёт второй шарик.

Решение:

Задачу можно решить в три этапа. Сначала найдём скорость первого шарика $v_1$ в нижней точке траектории (перед ударом) с помощью закона сохранения энергии. Затем, рассмотрев столкновение шариков как абсолютно упругий удар, найдём скорость второго шарика $v'_2$ сразу после удара. Наконец, зная начальную скорость и высоту, найдём дальность полёта $\text{S}$ второго шарика.

1. Найдём скорость шарика $m_1$ перед ударом.
В начальном положении (когда нить отклонена на угол $\alpha$) шарик поднят на высоту $\text{h}$ относительно положения равновесия. Эту высоту можно найти из геометрических соображений:
$h = L - L \cos(\alpha) = L(1 - \cos(\alpha))$
$h = 0,5 \text{ м} \cdot (1 - \cos(60^\circ)) = 0,5 \cdot (1 - 0,5) = 0,25 \text{ м}$
По закону сохранения механической энергии, начальная потенциальная энергия шарика $E_p = m_1gh$ переходит в кинетическую энергию $E_k = \frac{m_1 v_1^2}{2}$ в положении равновесия:
$m_1gh = \frac{m_1 v_1^2}{2}$
Отсюда выразим скорость $v_1$:
$v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,25 \text{ м}} = \sqrt{5} \text{ м/с}$

2. Найдём скорость шарика $m_2$ после удара.
Будем считать удар абсолютно упругим, так как в условии не указано иное. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии. Скорость шарика $m_2$ после столкновения ($v'_2$) можно найти по формуле:
$v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$
Подставим известные значения:
$v'_2 = \frac{2 \cdot 1 \text{ кг}}{1 \text{ кг} + 2 \text{ кг}} \cdot \sqrt{5} \text{ м/с} = \frac{2}{3}\sqrt{5} \text{ м/с}$

3. Найдём дальность полёта $\text{S}$ второго шарика.
После удара шарик $m_2$ движется горизонтально со скоростью $v'_2$ с высоты $\text{H}$. Время его полёта $\text{t}$ зависит только от высоты стола и определяется из уравнения для свободного падения:
$H = \frac{gt^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{0,2} \text{ с} = \frac{1}{\sqrt{5}} \text{ с}$
За это время шарик пролетит по горизонтали расстояние $\text{S}$:
$S = v'_2 \cdot t$
$S = \frac{2}{3}\sqrt{5} \text{ м/с} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \text{ с} = \frac{2}{3} \text{ м}$

Ответ: второй шарик упадёт на расстоянии $\frac{2}{3}$ м (приблизительно 0,67 м) от стола.