Номер 289, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 289, страница 42.

Условие.

289. [875] Определите максимальное значение потенциальной энергии при взаимодействии двух упругих шаров массами $m_1$ и $m_2$, если шары летят:

1) навстречу друг другу со скоростями $v_1$ и $v_2$;

2) друг за другом с теми же скоростями.

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1$

Масса второго шара: $m_2$

Скорость первого шара: $v_1$

Скорость второго шара: $v_2$

Найти:

$E_{p,max}$ — максимальная потенциальная энергия взаимодействия в каждом из двух случаев.

Решение:

Максимальное значение потенциальной энергии упругой деформации шаров достигается в момент их максимального сближения. В этот момент их относительная скорость равна нулю, и они движутся как единое целое с некоторой общей скоростью $\text{u}$.

По закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия системы шаров $E_{k,нач}$ переходит в кинетическую энергию шаров, движущихся как единое целое $E_{k,кон}$, и в максимальную потенциальную энергию их упругой деформации $E_{p,max}$.

$E_{k,нач} = E_{k,кон} + E_{p,max}$

Отсюда, максимальная потенциальная энергия равна разности начальной кинетической энергии системы и кинетической энергии системы в момент максимальной деформации:

$E_{p,max} = E_{k,нач} - E_{k,кон}$

Начальная кинетическая энергия системы в обоих случаях (до столкновения) равна сумме кинетических энергий шаров:

$E_{k,нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Кинетическая энергия системы в момент максимальной деформации (когда шары движутся с общей скоростью $\text{u}$):

$E_{k,кон} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Общую скорость $\text{u}$ можно найти из закона сохранения импульса для замкнутой системы двух шаров:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = (m_1 + m_2) \vec{u}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) навстречу друг другу со скоростями $v_1$ и $v_2$

Выберем ось координат OX, направленную вдоль скорости первого шара $\vec{v_1}$. Тогда проекции скоростей на эту ось до столкновения будут $v_{1x} = v_1$ и $v_{2x} = -v_2$.

Закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда находим общую скорость в момент максимальной деформации:

$u = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим все в формулу для максимальной потенциальной энергии:

$E_{p,max} = \left(\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}\right) - \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left(\frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}\right)^2$

$E_{p,max} = \frac{m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 v_1 - m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Приводя к общему знаменателю и упрощая выражение в числителе, получим:

$E_{p,max} = \frac{(m_1 + m_2)(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2) - (m_1^2 v_1^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$

$E_{p,max} = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2 m_1 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 - m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

$E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 v_2^2 + m_1 m_2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2}{2(m_1 + m_2)} = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$

Окончательно получаем:

$E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Ответ: Максимальная потенциальная энергия при движении навстречу друг другу равна $E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$.

2) друг за другом с теми же скоростями

Для столкновения необходимо, чтобы догоняющий шар имел большую скорость. Пусть шар массой $m_1$ догоняет шар массой $m_2$, т.е. $v_1 > v_2$. Направим ось OX в сторону их движения. Тогда проекции скоростей на эту ось $v_{1x} = v_1$ и $v_{2x} = v_2$.

Закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Общая скорость в момент максимальной деформации:

$u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Максимальная потенциальная энергия:

$E_{p,max} = \left(\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}\right) - \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left(\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\right)^2$

$E_{p,max} = \frac{m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Приводя к общему знаменателю и упрощая числитель:

$E_{p,max} = \frac{(m_1 + m_2)(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2) - (m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$

$E_{p,max} = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2 m_1 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2 - m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

$E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 v_2^2 + m_1 m_2 v_1^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2}{2(m_1 + m_2)} = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$

Окончательно получаем:

$E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Ответ: Максимальная потенциальная энергия при движении друг за другом равна $E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$.