Номер 282, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 282, страница 42.

Условие.

282. [257] Брусок массой $\text{m}$ и длиной $\text{l}$ лежит на стыке двух столов (рис. 61). Какую работу совершает сила $\vec{F}$ при равномерном перетаскивании бруска с одного стола на другой? Коэффициенты трения между бруском и столами $\mu_1$ и $\mu_2$.

Рис. 61

Решение.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$
Длина бруска: $\text{l}$
Коэффициент трения на первом столе: $\mu_1$
Коэффициент трения на втором столе: $\mu_2$
Движение равномерное, т.е. скорость постоянна ($v = const$)

Найти:

Работу $\text{A}$ силы $\vec{F}$.

Решение:

Работа, совершаемая силой $\vec{F}$, при перемещении бруска с одного стола на другой, определяется как $A = \vec{F} \cdot \vec{S}$, где $\vec{S}$ - перемещение. Так как сила $\vec{F}$ сонаправлена с перемещением, работа равна $A = F \cdot S$. Полное перемещение бруска составляет $S=l$. Однако сила $\text{F}$ в данном случае не является постоянной, так как она уравновешивает изменяющуюся силу трения.

Поскольку брусок перемещают равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, это означает, что сумма всех сил, действующих на брусок в горизонтальном направлении, равна нулю. На брусок действуют приложенная сила $\vec{F}$ и суммарная сила трения $\vec{F}_{тр}$. Следовательно, по модулю эти силы в каждый момент времени равны: $F = F_{тр}$.

Сила трения меняется по мере того, как брусок перемещается с одного стола на другой. Введем переменную $\text{x}$ - длину части бруска, которая уже находится на втором столе. Когда брусок перемещается, $\text{x}$ изменяется от $\text{0}$ до $\text{l}$.

Предполагая, что масса бруска распределена равномерно, масса на единицу длины составляет $\frac{m}{l}$.

Часть бруска, находящаяся на первом столе, имеет длину $l-x$ и массу $m_1 = \frac{m}{l}(l-x)$. Сила нормальной реакции, действующая на эту часть, равна $N_1 = m_1 g$. Сила трения, действующая на эту часть, составляет:
$F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g = \mu_1 \frac{m}{l}(l-x)g$

Часть бруска, находящаяся на втором столе, имеет длину $\text{x}$ и массу $m_2 = \frac{m}{l}x$. Сила нормальной реакции, действующая на эту часть, равна $N_2 = m_2 g$. Сила трения, действующая на эту часть, составляет:
$F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 m_2 g = \mu_2 \frac{m}{l}x g$

Суммарная сила трения, действующая на брусок в зависимости от положения $\text{x}$, равна сумме сил трения на каждой из поверхностей:
$F_{тр}(x) = F_{тр1} + F_{тр2} = \mu_1 \frac{mg}{l}(l-x) + \mu_2 \frac{mg}{l}x$

Так как $F(x) = F_{тр}(x)$, то
$F(x) = \frac{mg}{l}(\mu_1(l-x) + \mu_2 x) = mg\mu_1 + \frac{mg}{l}(\mu_2 - \mu_1)x$

Из полученного выражения видно, что приложенная сила $\text{F}$ линейно зависит от перемещения $\text{x}$. В таком случае работу можно вычислить как произведение средней силы на полное перемещение.

Начальная сила (при $x=0$, когда брусок полностью на первом столе):
$F_{нач} = F(0) = mg\mu_1$

Конечная сила (при $x=l$, когда брусок полностью на втором столе):
$F_{кон} = F(l) = mg\mu_2$

Средняя арифметическая сила за все время перемещения:
$F_{ср} = \frac{F_{нач} + F_{кон}}{2} = \frac{mg\mu_1 + mg\mu_2}{2} = \frac{mg(\mu_1 + \mu_2)}{2}$

Работа силы $\vec{F}$ равна произведению средней силы на полное перемещение $\text{l}$:
$A = F_{ср} \cdot l = \frac{mg(\mu_1 + \mu_2)}{2} \cdot l = \frac{mgl(\mu_1 + \mu_2)}{2}$

Этот же результат можно получить, вычислив работу как интеграл от переменной силы по перемещению:
$A = \int_0^l F(x) dx = \int_0^l \left( \mu_1 \frac{mg}{l}(l-x) + \mu_2 \frac{mg}{l}x \right) dx = \frac{mg}{l} \int_0^l (\mu_1 l - \mu_1 x + \mu_2 x) dx$
$A = \frac{mg}{l} \left[ \mu_1 lx - \frac{\mu_1 x^2}{2} + \frac{\mu_2 x^2}{2} \right]_0^l = \frac{mg}{l} \left( \mu_1 l^2 - \frac{\mu_1 l^2}{2} + \frac{\mu_2 l^2}{2} \right) = \frac{mg}{l} \left( \frac{\mu_1 l^2 + \mu_2 l^2}{2} \right) = \frac{mgl(\mu_1 + \mu_2)}{2}$

Ответ: работа, совершаемая силой $\vec{F}$, равна $A = \frac{mgl(\mu_1 + \mu_2)}{2}$.