Номер 283, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 283, страница 42.

Условие.

283. [258] Шаp массой 1 кг подвешен на нити длиной 1 м. В шар попадает пуля массой 10 г, летящая горизон-тально со скоростью 400 м/с. Пуля пробивает шар и вылетает из него со скоростью 200 м/с. Оборвётся ли нить, если она выдерживает максимальную силу на-тяжения 13 Н? Считайте, что за время взаимодей-ствия с пулей шар не смещается.

Решение.

Дано:

Масса шара, $M = 1$ кг

Длина нити, $l = 1$ м

Масса пули, $m = 10$ г

Начальная скорость пули, $v_1 = 400$ м/с

Конечная скорость пули, $v_2 = 200$ м/с

Максимальная сила натяжения, $T_{max} = 13$ Н

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Переведем массу пули в систему СИ:

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

Оборвётся ли нить?

Решение:

Чтобы определить, оборвётся ли нить, нужно вычислить силу натяжения $\text{T}$ в самый первый момент после того, как пуля пробила шар, и сравнить её с максимальным значением $T_{max}$, которое нить может выдержать.

1. Сначала найдем скорость шара $\text{V}$ сразу после взаимодействия с пулей. Применим закон сохранения импульса для системы "пуля-шар" в горизонтальном направлении (поскольку все скорости направлены горизонтально).

Импульс системы до столкновения равен начальному импульсу пули, так как шар покоился:

$p_{до} = m \cdot v_1$

Импульс системы после столкновения равен сумме импульсов пули и шара:

$p_{после} = m \cdot v_2 + M \cdot V$

Согласно закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$m \cdot v_1 = m \cdot v_2 + M \cdot V$

Из этого уравнения выразим скорость шара $\text{V}$:

$M \cdot V = m \cdot v_1 - m \cdot v_2 = m(v_1 - v_2)$

$V = \frac{m(v_1 - v_2)}{M}$

Подставим числовые значения:

$V = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot (400 \text{ м/с} - 200 \text{ м/с})}{1 \text{ кг}} = \frac{0.01 \cdot 200}{1} = 2$ м/с.

2. Сразу после столкновения шар, имея скорость $\text{V}$, начинает движение по дуге окружности радиусом $\text{l}$. В этот момент (в нижней точке траектории) на шар действуют две вертикальные силы: сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх, и сила тяжести $Mg$, направленная вниз. Их равнодействующая сообщает шару центростремительное ускорение $a_ц = \frac{V^2}{l}$.

Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на вертикальную ось (направленную к центру окружности):

$T - Mg = M \cdot a_ц$

$T - Mg = M \frac{V^2}{l}$

Выразим отсюда искомую силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = Mg + M \frac{V^2}{l} = M(g + \frac{V^2}{l})$

Подставим значения и вычислим $\text{T}$:

$T = 1 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{(2 \text{ м/с})^2}{1 \text{ м}}) = 1 \cdot (10 + \frac{4}{1}) = 14$ Н.

3. Сравним полученную силу натяжения $\text{T}$ с максимальной допустимой силой натяжения $T_{max}$:

$T = 14$ Н

$T_{max} = 13$ Н

Поскольку вычисленная сила натяжения $T = 14$ Н превышает максимальную силу, которую может выдержать нить ($T_{max} = 13$ Н), нить оборвётся.

Ответ: да, нить оборвётся.