Номер 290, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 290, страница 42.

Условие.

290. [876] Электрон, движущийся со скоростью $\text{v}$, налетает на неподвижный атом. Массы электрона и атома равны соответственно $m_e$ и $m_a$, причём $m_e \ll m_a$. При небольших значениях энергии электрона его взаимодействие с атомом можно считать абсолютно упругим. Определите энергию, которую передаёт электрон атому.

Решение.

Дано:

Масса электрона: $m_e$

Масса неподвижного атома: $m_a$

Начальная скорость электрона: $\text{v}$

Начальная скорость атома: $v_a = 0$

Столкновение абсолютно упругое.

Условие: $m_e \ll m_a$

Найти:

Энергию, переданную атому: $\Delta E_a$

Решение:

Поскольку взаимодействие электрона с атомом считается абсолютно упругим, мы можем применить закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Будем рассматривать одномерное (центральное) столкновение, при котором передача энергии максимальна.

Обозначим скорости электрона и атома после столкновения как $v_e'$ и $v_a'$ соответственно.

1. Закон сохранения импульса:

Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения.

$m_e v + m_a \cdot 0 = m_e v_e' + m_a v_a'$

$m_e v = m_e v_e' + m_a v_a'$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

Кинетическая энергия системы до столкновения равна кинетической энергии системы после столкновения.

$\frac{1}{2} m_e v^2 + \frac{1}{2} m_a \cdot 0^2 = \frac{1}{2} m_e (v_e')^2 + \frac{1}{2} m_a (v_a')^2$

$m_e v^2 = m_e (v_e')^2 + m_a (v_a')^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2) относительно скорости атома после столкновения $v_a'$.

Из уравнения (1) выразим $m_e(v - v_e')$:

$m_e(v - v_e') = m_a v_a'$

Из уравнения (2) выразим $m_e(v^2 - (v_e')^2)$:

$m_e(v^2 - (v_e')^2) = m_a (v_a')^2$

$m_e(v - v_e')(v + v_e') = m_a (v_a')^2$

Разделим второе преобразованное уравнение на первое:

$\frac{m_e(v - v_e')(v + v_e')}{m_e(v - v_e')} = \frac{m_a (v_a')^2}{m_a v_a'}$

$v + v_e' = v_a'$

Отсюда выразим скорость электрона после столкновения $v_e' = v_a' - v$ и подставим ее в уравнение закона сохранения импульса (1):

$m_e v = m_e (v_a' - v) + m_a v_a'$

$m_e v = m_e v_a' - m_e v + m_a v_a'$

$2 m_e v = (m_e + m_a) v_a'$

Выразим скорость атома после столкновения:

$v_a' = \frac{2 m_e v}{m_e + m_a}$

Энергия, которую электрон передает атому, равна кинетической энергии, которую приобретает атом:

$\Delta E_a = \frac{1}{2} m_a (v_a')^2$

Подставим найденное выражение для $v_a'$:

$\Delta E_a = \frac{1}{2} m_a \left(\frac{2 m_e v}{m_e + m_a}\right)^2 = \frac{1}{2} m_a \frac{4 m_e^2 v^2}{(m_e + m_a)^2} = \frac{2 m_a m_e^2 v^2}{(m_e + m_a)^2}$

Теперь воспользуемся условием задачи $m_e \ll m_a$. Это означает, что масса электрона значительно меньше массы атома, поэтому в знаменателе можно пренебречь $m_e$ по сравнению с $m_a$:

$m_e + m_a \approx m_a$

Тогда выражение для переданной энергии упрощается:

$\Delta E_a \approx \frac{2 m_a m_e^2 v^2}{m_a^2} = \frac{2 m_e^2 v^2}{m_a}$

Ответ:

Энергия, которую передает электрон атому, равна $\Delta E_a = \frac{2 m_e^2 v^2}{m_a}$.