Номер 280, страница 41, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 280, страница 41.

Условие.

280. [255] Брусок массой $\text{m}$, лежащий на горизонтальной поверхности, прикреплён к стенке пружиной жёсткостью $\text{k}$ (см. рис. 52). Коэффициент трения между бруском и поверхностью $\mu$. С какой скоростью должна лететь пуля, чтобы после попадания её в брусок он вернулся в исходное положение? Масса пули $m_0$. До попадания пули в брусок пружина не деформирована.

Решение.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$

Масса пули: $m_0$

Жесткость пружины: $\text{k}$

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

$v_0$ - начальная скорость пули.

Решение:

Решение задачи можно разделить на несколько этапов. Сначала рассмотрим абсолютно неупругое соударение пули и бруска. Затем проанализируем движение системы "брусок + пуля" с учетом работы сил упругости и трения.

1. Соударение пули и бруска.

Поскольку удар происходит практически мгновенно, изменением положения системы за время удара можно пренебречь. Следовательно, импульс силы упругости и силы трения за это время равен нулю. Для системы "пуля + брусок" в горизонтальном направлении выполняется закон сохранения импульса:

$m_0 v_0 = (m + m_0) v_1$

где $v_0$ - начальная скорость пули, а $v_1$ - скорость бруска с застрявшей в нем пулей сразу после удара.

Отсюда скорость системы сразу после удара равна:

$v_1 = \frac{m_0 v_0}{m + m_0}$

Кинетическая энергия системы "брусок + пуля" в этот момент составляет:

$E_{к1} = \frac{(m + m_0) v_1^2}{2}$

2. Движение системы до остановки и обратно.

По условию, брусок с пулей, пройдя некоторое расстояние и максимально сжав пружину, возвращается в исходное положение и останавливается. Это означает, что вся механическая энергия, которой обладала система, была израсходована на работу против силы трения за время движения туда и обратно.

Рассмотрим движение системы из положения максимального сжатия пружины, которое обозначим как $x_{max}$, обратно в исходное положение ($x=0$).

В начальный момент этого этапа (в точке $x_{max}$) система покоится, ее кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия сжатой пружины составляет $E_п = \frac{k x_{max}^2}{2}$. В конечный момент (в точке $x=0$) система также покоится, поэтому ее кинетическая и потенциальная энергии равны нулю.

Согласно закону об изменении механической энергии, изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения):

$\Delta E = A_{тр}$

$E_{конечная} - E_{начальная} = A_{тр}$

$0 - \frac{k x_{max}^2}{2} = -F_{тр} \cdot x_{max}$

Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N = \mu (m+m_0) g$. Тогда:

$-\frac{k x_{max}^2}{2} = -\mu (m+m_0) g x_{max}$

Так как $x_{max} \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $x_{max}$:

$\frac{k x_{max}}{2} = \mu (m+m_0) g$

Отсюда находим максимальное сжатие пружины:

$x_{max} = \frac{2 \mu (m + m_0) g}{k}$

3. Определение начальной скорости.

Теперь рассмотрим движение системы от момента сразу после удара ($x=0$) до момента максимального сжатия ($x_{max}$).

Начальная энергия системы (кинетическая) $E_{к1} = \frac{(m + m_0) v_1^2}{2}$.

Конечная энергия системы (потенциальная) $E_п = \frac{k x_{max}^2}{2}$.

Работа силы трения на этом пути $A_{тр} = -\mu (m+m_0) g x_{max}$.

Закон изменения энергии для этого этапа:

$E_п - E_{к1} = A_{тр}$

$\frac{k x_{max}^2}{2} - \frac{(m + m_0) v_1^2}{2} = -\mu (m + m_0) g x_{max}$

Выразим отсюда начальную кинетическую энергию:

$\frac{(m + m_0) v_1^2}{2} = \frac{k x_{max}^2}{2} + \mu (m + m_0) g x_{max}$

Из предыдущего пункта мы получили, что $\mu (m + m_0) g = \frac{k x_{max}}{2}$. Подставим это выражение:

$\frac{(m + m_0) v_1^2}{2} = \frac{k x_{max}^2}{2} + \left(\frac{k x_{max}}{2}\right) x_{max} = k x_{max}^2$

Теперь подставим найденное ранее выражение для $x_{max}$:

$\frac{(m + m_0) v_1^2}{2} = k \left(\frac{2 \mu (m + m_0) g}{k}\right)^2 = k \frac{4 \mu^2 (m + m_0)^2 g^2}{k^2} = \frac{4 \mu^2 (m + m_0)^2 g^2}{k}$

Найдем квадрат скорости $v_1$:

$v_1^2 = \frac{2}{m+m_0} \cdot \frac{4 \mu^2 (m + m_0)^2 g^2}{k} = \frac{8 \mu^2 (m+m_0) g^2}{k}$

Следовательно, $v_1 = \sqrt{\frac{8 \mu^2 (m+m_0) g^2}{k}} = 2\mu g \sqrt{\frac{2(m+m_0)}{k}}$.

Наконец, из закона сохранения импульса найдем искомую скорость пули $v_0$:

$v_0 = \frac{m + m_0}{m_0} v_1 = \frac{m + m_0}{m_0} \cdot 2\mu g \sqrt{\frac{2(m+m_0)}{k}}$

Ответ: Скорость пули должна быть равна $v_0 = \frac{2 \mu g (m + m_0)}{m_0} \sqrt{\frac{2(m+m_0)}{k}}$.