Номер 275, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 275, страница 40.

Условие.

275. [250] Нить длиной 1 м с привязанным к ней грузом массой 100 г отклонили на угол 90° и отпустили (рис. 56). На сколько ниже точки подвеса нужно вбить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? Максимальное натяжение, выдерживаемое нитью, 10 Н.

Рис. 56

Решение.

Дано:

Длина нити $L = 1$ м

Масса груза $m = 100$ г

Максимальное натяжение нити $T_{max} = 10$ Н

Начальный угол отклонения $\alpha = 90^\circ$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

$\text{h}$ — расстояние от точки подвеса, на котором нужно вбить гвоздь.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии для нахождения скорости груза в нижней точке траектории и вторым законом Ньютона для определения силы натяжения нити.

1. Определим скорость груза в нижней точке траектории (в момент, когда нить вертикальна). Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение груза в этой нижней точке. В начальном положении, когда нить отклонена на 90°, груз находится на высоте $\text{L}$ относительно нулевого уровня. Его начальная скорость равна нулю.

Согласно закону сохранения механической энергии, начальная потенциальная энергия груза $E_p$ полностью перейдет в его кинетическую энергию $E_k$ в нижней точке:

$E_p = E_k$

$m g L = \frac{m v^2}{2}$

Отсюда находим квадрат скорости груза в нижней точке:

$v^2 = 2 g L$

2. Когда нить налетает на гвоздь, вбитый на расстоянии $\text{h}$ от точки подвеса, груз начинает двигаться по окружности нового радиуса $\text{R}$. Этот новый радиус равен разности между полной длиной нити и расстоянием от точки подвеса до гвоздя:

$R = L - h$

3. В нижней точке траектории на груз действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру новой окружности (к гвоздю).

$T - mg = m a_c$

$T - mg = \frac{m v^2}{R}$

4. Нить порвется, если сила натяжения $\text{T}$ достигнет своего максимального значения $T_{max}$. Подставим в уравнение из пункта 3 предельное значение натяжения $T = T_{max}$, а также ранее найденные выражения для $v^2$ и $\text{R}$:

$T_{max} - mg = \frac{m (2 g L)}{L - h}$

5. Из этого уравнения выразим искомую величину $\text{h}$.

$L - h = \frac{2 m g L}{T_{max} - mg}$

$h = L - \frac{2 m g L}{T_{max} - mg}$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

$h = 1 \text{ м} - \frac{2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}}{10 \text{ Н} - 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}$

$h = 1 - \frac{2}{10 - 1} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \text{ м}$

Приблизительное значение: $h \approx 0.78$ м.

Это минимальное расстояние от точки подвеса. Если гвоздь вбить ниже этого уровня (т.е. при $h > \frac{7}{9}$ м), то радиус $\text{R}$ станет еще меньше, и сила натяжения превысит 10 Н, что также приведет к разрыву нити.

Ответ: гвоздь нужно вбить на расстоянии $\frac{7}{9}$ м (примерно 78 см) ниже точки подвеса.