Номер 268, страница 39, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 268, страница 39.

Условие.

268. [243] На концах невесомого стержня длиной 1 м закреплены два небольших шарика массами 2 и 1 кг (рис. 50). Стержень может вращаться относительно оси, проходящей через точку $\text{O}$. В начальный момент наверху находится более тяжёлый шарик. Вследствие небольшого толчка стержень начинает вращаться. Определите скорость шариков в тот момент, когда они поменяются местами

Рис. 50

Решение.

Дано:

Масса первого (более тяжелого) шарика, $m_1 = 2$ кг

Масса второго шарика, $m_2 = 1$ кг

Длина стержня, $L = 1$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Скорость шариков, $\text{v}$ - ?

Решение:

Для решения данной задачи применим закон сохранения механической энергии. Система состоит из двух шариков и невесомого стержня. Поскольку стержень вращается под действием силы тяжести (которая является консервативной) и силы реакции опоры в точке °(которая не совершает работы, так как точка приложения силы неподвижна), полная механическая энергия системы сохраняется.

Полная механическая энергия системы $\text{E}$ равна сумме ее кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную ось, проходящую через точку вращения O. Так как точка °находится посередине стержня, расстояние от нее до каждого из шариков будет одинаковым и равным $r = L/2 = 1 \text{ м} / 2 = 0.5$ м.

Рассмотрим начальное состояние системы (состояние 1). Стержень находится в вертикальном положении, более тяжелый шарик $m_1$ наверху. Система начинает движение из состояния покоя, поэтому ее начальная кинетическая энергия $E_{k1} = 0$.

Потенциальная энергия в начальном состоянии складывается из потенциальных энергий двух шариков. Высота шарика $m_1$ над нулевым уровнем $h_1 = L/2$, а высота шарика $m_2$ — $h_2 = -L/2$.

$E_{p1} = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = m_1 g \frac{L}{2} + m_2 g (-\frac{L}{2}) = (m_1 - m_2)g\frac{L}{2}$

Полная начальная энергия системы: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + (m_1 - m_2)g\frac{L}{2} = (m_1 - m_2)g\frac{L}{2}$.

Рассмотрим конечное состояние системы (состояние 2), когда шарики поменялись местами. Теперь шарик $m_1$ находится внизу (на высоте $h_1' = -L/2$), а шарик $m_2$ — наверху (на высоте $h_2' = L/2$).

Потенциальная энергия в конечном состоянии:

$E_{p2} = m_1 g h_1' + m_2 g h_2' = m_1 g (-\frac{L}{2}) + m_2 g \frac{L}{2} = (m_2 - m_1)g\frac{L}{2}$

В этом состоянии оба шарика движутся. Так как они соединены жестким стержнем и находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, их линейные скорости будут равны по модулю. Обозначим эту скорость как $\text{v}$.

Кинетическая энергия системы в конечном состоянии:

$E_{k2} = \frac{1}{2}m_1 v^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$

Полная конечная энергия системы: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + (m_2 - m_1)g\frac{L}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$(m_1 - m_2)g\frac{L}{2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + (m_2 - m_1)g\frac{L}{2}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить скорость $\text{v}$:

$(m_1 - m_2)g\frac{L}{2} - (m_2 - m_1)g\frac{L}{2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$

$(m_1 - m_2)g\frac{L}{2} + (m_1 - m_2)g\frac{L}{2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$

$(m_1 - m_2)gL = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$

Отсюда находим квадрат скорости:

$v^2 = \frac{2(m_1 - m_2)gL}{m_1 + m_2}$

И саму скорость:

$v = \sqrt{\frac{2(m_1 - m_2)gL}{m_1 + m_2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \sqrt{\frac{2(2 \text{ кг} - 1 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}}{2 \text{ кг} + 1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}}{3 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{19.6}{3}} \text{ м/с} \approx \sqrt{6.533} \text{ м/с} \approx 2.56$ м/с.

Ответ: скорость шариков в тот момент, когда они поменяются местами, составит примерно 2.56 м/с.