Номер 274, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 274, страница 40.

Условие.

274. [249] Шарик массой $\text{m}$, подвешенный на нити, вращается в вертикальной плоскости. Определите, на сколько сила натяжения нити при прохождении шариком нижней точки больше, чем при прохождении верхней точки. Считайте, что механическая энергия шарика остаётся постоянной.

Решение.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Механическая энергия постоянна: $E_{мех} = const$

Найти:

Разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории: $T_н - T_в$

Решение:

Рассмотрим движение шарика в вертикальной плоскости. Пусть длина нити (радиус окружности) равна $\text{l}$. На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к центру вращения.

1. Запишем второй закон Ньютона для шарика в верхней точке траектории. В этой точке и сила натяжения $T_в$, и сила тяжести $mg$ направлены вертикально вниз, к центру окружности. Их сумма создает центростремительное ускорение $a_в = v_в^2 / l$:

$T_в + mg = m \frac{v_в^2}{l}$

Отсюда выразим силу натяжения в верхней точке:

$T_в = m \frac{v_в^2}{l} - mg$ (1)

2. Запишем второй закон Ньютона для шарика в нижней точке траектории. В этой точке сила натяжения $T_н$ направлена вверх к центру, а сила тяжести $mg$ – вниз от центра. Их равнодействующая создает центростремительное ускорение $a_н = v_н^2 / l$:

$T_н - mg = m \frac{v_н^2}{l}$

Отсюда выразим силу натяжения в нижней точке:

$T_н = m \frac{v_н^2}{l} + mg$ (2)

3. Найдем искомую разность сил натяжения, вычитая уравнение (1) из уравнения (2):

$T_н - T_в = \left(m \frac{v_н^2}{l} + mg\right) - \left(m \frac{v_в^2}{l} - mg\right)$

$T_н - T_в = \frac{m}{l}(v_н^2 - v_в^2) + 2mg$ (3)

4. Чтобы найти разность квадратов скоростей $(v_н^2 - v_в^2)$, воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шарика в нижней точке траектории ($h_н = 0$). Тогда высота шарика в верхней точке будет равна диаметру окружности $h_в = 2l$.

Механическая энергия в нижней точке: $E_н = E_{кин, н} + E_{пот, н} = \frac{mv_н^2}{2} + 0$

Механическая энергия в верхней точке: $E_в = E_{кин, в} + E_{пот, в} = \frac{mv_в^2}{2} + mg(2l)$

По условию механическая энергия сохраняется, следовательно $E_н = E_в$:

$\frac{mv_н^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + 2mgl$

Разделим обе части уравнения на $\text{m}$ и умножим на 2:

$v_н^2 = v_в^2 + 4gl$

Отсюда выразим разность квадратов скоростей:

$v_н^2 - v_в^2 = 4gl$ (4)

5. Подставим полученное выражение (4) в уравнение (3) для разности сил натяжения:

$T_н - T_в = \frac{m}{l}(4gl) + 2mg$

Сократив $\text{l}$, получим:

$T_н - T_в = 4mg + 2mg = 6mg$

Таким образом, разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории равна шестикратной силе тяжести, действующей на шарик.

Ответ: Сила натяжения нити при прохождении шариком нижней точки больше, чем при прохождении верхней, на $6mg$.