Номер 314, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 314, страница 46.

Условие.

314. H На лёгком стержне длиной 62 см укреплён шарик массой 200 г. Конец стержня соединён с шарниром (рис. 68). Стержень удерживается в горизонтальном положении пружиной, закреплённой на расстоянии $\frac{2}{3}$ длины стержня от шарнира. Пружину растянули на 2 см и отпустили. Чему равны линейное и угловое ускорения шарика сразу же после того, как он начнёт двигаться? Жёсткость пружины равна 4,6 Н/м.

Рис. 68

Решение.

Дано:

$L = 62 \text{ см} = 0.62 \text{ м}$
$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
Расстояние от шарнира до пружины $l = \frac{2}{3}L$
Растяжение пружины $\Delta x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Жёсткость пружины $k = 4.6 \text{ Н/м}$

Найти:

$\text{a}$ - ?
$\varepsilon$ - ?

Решение:

Движение стержня с шариком представляет собой вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через шарнир. Это движение описывается основным уравнением динамики вращательного движения:

$M_{net} = I \varepsilon$

где $M_{net}$ – суммарный момент сил, действующих на систему, относительно оси вращения, $\text{I}$ – момент инерции системы, а $\varepsilon$ – её угловое ускорение.

В момент, когда стержень отпускают, он находится в горизонтальном положении. На систему действуют две силы, создающие вращающий момент: сила тяжести шарика $F_g = mg$, приложенная на расстоянии $\text{L}$ от шарнира и направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр} = k \Delta x$, приложенная на расстоянии $l = \frac{2}{3}L$ от шарнира и направленная вверх. Момент силы реакции в шарнире равен нулю, так как её плечо равно нулю.

Примем направление вращения против часовой стрелки за положительное. Тогда момент силы упругости будет положительным, а момент силы тяжести – отрицательным.

$M_{упр} = F_{упр} \cdot l = (k \Delta x) \cdot (\frac{2}{3}L)$

$M_g = -F_g \cdot L = -mgL$

Суммарный момент сил равен:

$M_{net} = M_{упр} + M_g = \frac{2}{3} k \Delta x L - mgL = L (\frac{2}{3} k \Delta x - mg)$

Момент инерции системы равен моменту инерции шарика (как материальной точки), так как стержень по условию лёгкий (его массой и моментом инерции пренебрегаем):

$I = mL^2$

Подставим выражения для $M_{net}$ и $\text{I}$ в основное уравнение динамики:

$L (\frac{2}{3} k \Delta x - mg) = (mL^2) \varepsilon$

Выразим угловое ускорение $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{L (\frac{2}{3} k \Delta x - mg)}{mL^2} = \frac{\frac{2}{3} k \Delta x - mg}{mL}$

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$):

$\varepsilon = \frac{\frac{2}{3} \cdot 4.6 \text{ Н/м} \cdot 0.02 \text{ м} - 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.2 \text{ кг} \cdot 0.62 \text{ м}} \approx \frac{0.0613 \text{ Н} - 1.96 \text{ Н}}{0.124 \text{ кг} \cdot \text{м}} = \frac{-1.8987 \text{ Н}}{0.124 \text{ кг} \cdot \text{м}} \approx -15.3 \text{ рад/с}^2$

Знак «минус» означает, что начальное ускорение направлено по часовой стрелке (вниз). Для ответа будем использовать модуль этой величины.

Линейное ускорение шарика $\text{a}$ связано с угловым ускорением $\varepsilon$ соотношением $a = |\varepsilon| R$, где $\text{R}$ – расстояние от оси вращения до шарика, то есть $R=L$.

$a = |\varepsilon| L$

$a \approx 15.3 \text{ рад/с}^2 \cdot 0.62 \text{ м} \approx 9.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: Линейное ускорение шарика равно примерно $9.5 \text{ м/с}^2$, а угловое ускорение равно примерно $15.3 \text{ рад/с}^2$.