Номер 326, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 326, страница 48.

Условие.

326. [260] Человек удерживает на верёвке, перекинутой через блок, груз массой $20 \text{ кг}$, висящий посередине (рис. 69). Расстояние между точками A и B равно $3 \text{ м}$. Прогиб верёвки $40 \text{ см}$. Определите силу, с которой верёвка тянет человека вверх.

Рис. 69

Решение.

Дано:

$m = 20$ кг (масса груза)

$L = 3$ м (расстояние между точками А и В)

$h = 40$ см

Перевод в систему СИ:

$h = 0,4$ м

Справочные данные:

$g \approx 9,8$ Н/кг (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{F}$ — сила, с которой верёвка тянет человека вверх.

Решение:

Человек удерживает конец верёвки, поэтому сила, с которой верёвка тянет его вверх, равна силе натяжения верёвки $\text{T}$. Поскольку верёвка перекинута через идеальный (без трения) блок, сила натяжения одинакова по всей её длине. Следовательно, искомая сила $F = T$.

Рассмотрим условие равновесия груза. На груз действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения $\text{T}$, приложенные к грузу со стороны левой и правой частей верёвки. Эти силы направлены вверх под некоторым углом $\alpha$ к горизонтали.

Согласно первому закону Ньютона, для равновесия тела необходимо, чтобы векторная сумма всех действующих на него сил была равна нулю. Запишем это условие в проекции на вертикальную ось $\text{Y}$ (направленную вверх):

$\Sigma F_y = T_y + T_y - F_g = 0$

где $T_y = T \sin \alpha$ — вертикальная составляющая силы натяжения.

Таким образом, получаем уравнение равновесия:

$2T \sin \alpha = mg$

Отсюда можем выразить искомую силу натяжения $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2 \sin \alpha}$

Найдём значение $\sin \alpha$ из геометрии системы. Так как груз висит посередине, он делит расстояние $\text{L}$ на две равные части. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной расстояния между опорами ($L/2$), прогибом верёвки ($\text{h}$) и длиной самой верёвки от груза до опоры ($\text{l}$).

Катеты этого треугольника равны $\text{h}$ и $L/2$.

$L/2 = 3 \text{ м} / 2 = 1,5 \text{ м}$

$h = 0,4 \text{ м}$

Гипотенуза $\text{l}$ находится по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + (L/2)^2} = \sqrt{(0,4 \text{ м})^2 + (1,5 \text{ м})^2} = \sqrt{0,16 \text{ м}^2 + 2,25 \text{ м}^2} = \sqrt{2,41} \text{ м} \approx 1,552 \text{ м}$

Синус угла $\alpha$ (угла между верёвкой и горизонталью) равен отношению противолежащего катета $\text{h}$ к гипотенузе $\text{l}$:

$\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{0,4}{\sqrt{2,41}}$

Теперь подставим это выражение в формулу для силы натяжения $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2 \cdot \frac{h}{l}} = \frac{mg \cdot l}{2h}$

Вычислим значение силы:

$T = \frac{20 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \cdot \sqrt{2,41} \text{ м}}{2 \cdot 0,4 \text{ м}} = \frac{196 \cdot \sqrt{2,41}}{0,8} \text{ Н} \approx \frac{196 \cdot 1,552}{0,8} \text{ Н} \approx \frac{304,192}{0,8} \text{ Н} \approx 380,24 \text{ Н}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как данные в задаче имеют такую точность.

$F = T \approx 380$ Н.

Ответ: сила, с которой верёвка тянет человека вверх, составляет приблизительно 380 Н.