Номер 329, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 329, страница 48.

Условие.

329. [263] Определите, в каких пределах может изменяться сила натяжения перекинутой через блок верёвки, которая удерживает на наклонной плоскости груз массой 100 кг (рис. 72). Угол у основания наклонной плоскости $45^\circ$, коэффициент трения 0,4.

Рис. 72

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ кг}$
$\alpha = 45^{\circ}$
$\mu = 0,4$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Все данные уже представлены в системе СИ или являются безразмерными величинами.

Найти:

Пределы изменения силы натяжения $\text{F}$, т.е. найти $F_{min}$ и $F_{max}$.

Решение:

Груз находится в равновесии на наклонной плоскости. На него действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, сила натяжения веревки $\vec{F}$ (равная по модулю силе, приложенной к другому концу веревки) и сила трения $\vec{F}_{тр}$.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY – перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона, в состоянии покоя векторная сумма всех сил равна нулю:$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$

Запишем уравнения в проекциях на оси координат:

Проекция на ось OY:
$N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha$

Сила трения покоя может изменяться от 0 до своего максимального значения $F_{тр_{max}} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$.

Рассмотрим два крайних случая, определяющих пределы силы натяжения $\text{F}$.

1. Определение минимальной силы натяжения $F_{min}$

Минимальная сила $F_{min}$ необходима, чтобы удержать груз от соскальзывания вниз. В этом случае груз готов начать движение вниз, и сила трения покоя направлена вверх по наклонной плоскости, помогая силе натяжения. Сила трения при этом максимальна.

Проекция на ось OX:
$F_{min} + F_{тр} - mg \sin \alpha = 0$
$F_{min} = mg \sin \alpha - F_{тр_{max}}$
$F_{min} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha$
$F_{min} = mg (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

Подставим числовые значения:

$F_{min} = 100 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (\sin 45^{\circ} - 0,4 \cdot \cos 45^{\circ})$
Так как $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, получим:
$F_{min} = 980 \text{ Н} \cdot (0,707 - 0,4 \cdot 0,707) = 980 \text{ Н} \cdot 0,707 \cdot (1 - 0,4) = 980 \text{ Н} \cdot 0,707 \cdot 0,6 \approx 415,7 \text{ Н}$

2. Определение максимальной силы натяжения $F_{max}$

Максимальная сила $F_{max}$ – это такая сила, при которой груз еще не начинает двигаться вверх. В этом случае груз готов начать движение вверх, и сила трения покоя направлена вниз по наклонной плоскости, противодействуя силе натяжения. Сила трения также максимальна.

Проекция на ось OX:
$F_{max} - F_{тр} - mg \sin \alpha = 0$
$F_{max} = mg \sin \alpha + F_{тр_{max}}$
$F_{max} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha$
$F_{max} = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$

Подставим числовые значения:

$F_{max} = 100 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (\sin 45^{\circ} + 0,4 \cdot \cos 45^{\circ})$
$F_{max} = 980 \text{ Н} \cdot (0,707 + 0,4 \cdot 0,707) = 980 \text{ Н} \cdot 0,707 \cdot (1 + 0,4) = 980 \text{ Н} \cdot 0,707 \cdot 1,4 \approx 970,0 \text{ Н}$

Таким образом, сила натяжения веревки может изменяться в пределах от $F_{min}$ до $F_{max}$, чтобы груз оставался в покое.

Ответ: Сила натяжения веревки может изменяться в пределах от $415,7 \text{ Н}$ до $970,0 \text{ Н}$. То есть, $415,7 \text{ Н} \le F \le 970,0 \text{ Н}$.