Номер 331, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 331, страница 49.

Условие.

331. [265] Между двумя палочками зажат мяч радиусом $\text{R}$ (рис. 74). Коэффициент трения между поверхностями мяча и палочек $\mu$, масса мяча $\text{m}$, угол между палочками $2\alpha$. С какой силой мяч давит на палочки?

Рис. 74

Решение.

Дано:

Радиус мяча: $\text{R}$

Коэффициент трения: $\mu$

Масса мяча: $\text{m}$

Угол между палочками: $2\alpha$

Найти:

Силу, с которой мяч давит на палочки: $\text{P}$

Решение:

Поскольку мяч находится в покое, он пребывает в состоянии равновесия. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, приложенных к мячу, равна нулю: $\sum \vec{F} = 0$.

На мяч действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Силы нормальной реакции $\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$ со стороны каждой из палочек. Эти силы перпендикулярны поверхностям палочек. В силу симметрии задачи, их модули равны: $N_1 = N_2 = N$.

3. Силы трения покоя $\vec{F_{tr1}}$ и $\vec{F_{tr2}}$. Они направлены вдоль палочек вверх, препятствуя соскальзыванию мяча. В силу симметрии, их модули также равны: $F_{tr1} = F_{tr2} = F_{tr}$. Сила трения покоя связана с силой нормальной реакции соотношением $F_{tr} \le \mu N$. Для удержания мяча необходима минимальная сила давления, при которой сила трения достигает своего максимального значения: $F_{tr} = \mu N$.

По третьему закону Ньютона, сила давления $\text{P}$, с которой мяч действует на каждую палочку, равна по модулю силе нормальной реакции $\text{N}$. Таким образом, искомая сила $P = N$.

Для решения задачи выберем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. Ось OY будет являться осью симметрии системы, так как она является биссектрисой угла $2\alpha$. Следовательно, каждая палочка будет наклонена к вертикали (оси OY) под углом $\alpha$.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат. В силу симметрии, сумма проекций всех сил на горизонтальную ось OX равна нулю, поэтому рассмотрим проекции на вертикальную ось OY.

$\sum F_y = 0$

Определим проекции сил на ось OY:

– Палочка наклонена под углом $\alpha$ к вертикали. Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна палочке. Следовательно, угол между вектором $\vec{N}$ и горизонтальной осью OX равен $\alpha$. Проекция силы $\text{N}$ на вертикальную ось OY будет $N_y = N \sin\alpha$. Так как на мяч действуют две симметричные силы нормальной реакции, их суммарная проекция на ось OY равна $2N \sin\alpha$.

– Сила трения $\vec{F_{tr}}$ направлена вдоль палочки, то есть составляет угол $\alpha$ с вертикальной осью OY. Её проекция на ось OY равна $F_{tr,y} = F_{tr} \cos\alpha$. Суммарная проекция от двух сил трения на ось OY равна $2F_{tr} \cos\alpha$.

– Проекция силы тяжести на ось OY равна $-mg$.

Суммируя все вертикальные проекции, получаем уравнение равновесия:

$2N \sin\alpha + 2F_{tr} \cos\alpha - mg = 0$

Подставим в это уравнение выражение для максимальной силы трения покоя $F_{tr} = \mu N$:

$2N \sin\alpha + 2(\mu N) \cos\alpha = mg$

Вынесем $2N$ за скобки:

$2N (\sin\alpha + \mu \cos\alpha) = mg$

Отсюда выразим модуль силы нормальной реакции $\text{N}$:

$N = \frac{mg}{2(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$

Так как $P=N$, то сила, с которой мяч давит на каждую из палочек, равна этому выражению.

Ответ: Сила давления мяча на каждую палочку равна $P = \frac{mg}{2(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$.