Номер 341, страница 50, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 341, страница 50.

Условие.

341. [275] На гвозде, вбитом в стену в точке A, висит обруч массой $\text{m}$. Обруч отклоняют на угол $\alpha$ (рис. 81) и вбивают ещё один гвоздь в точке B, симметричной точке A относительно горизонтальной линии OC. Определите силу давления на гвоздь в точке B.

Рис. 81

Решение.

Дано:

m – масса обруча
α – угол отклонения обруча
g – ускорение свободного падения

Найти:

$F_{давл B}$ – силу давления на гвоздь в точке B.

Решение:

Рассмотрим обруч в состоянии равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс обруча (точка O), и силы реакции опоры со стороны гвоздей в точках A и B, обозначим их $\vec{N}_A$ и $\vec{N}_B$ соответственно. Поскольку гвозди гладкие (в условии не сказано об ином), силы реакции направлены по нормали к поверхности обруча, то есть вдоль радиусов OA и OB.

Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы векторная сумма всех действующих на него сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки были равны нулю.

1. Условие равенства нулю суммы моментов сил (правило моментов).
Запишем уравнение моментов относительно точки А. В этом случае момент силы $\vec{N}_A$ равен нулю, что упрощает расчёты. Алгебраическая сумма моментов силы тяжести $m\vec{g}$ и силы реакции $\vec{N}_B$ должна быть равна нулю.

$\sum M_A = 0$

Пусть R – радиус обруча. Введем систему координат с началом в центре обруча O, ось Y направим вертикально вверх, а ось X – горизонтально влево, как на рисунке. Координаты точек: A($R\sin\alpha$, $R\cos\alpha$), B($R\sin\alpha$, $-R\cos\alpha$), O(0, 0). Векторы сил: $m\vec{g} = \{0, -mg\}$, $\vec{N}_B = \{N_{Bx}, N_{By}\}$. Сила $\vec{N}_B$ направлена вдоль радиуса OB, поэтому её компоненты пропорциональны координатам точки B: $\vec{N}_B = N_B \cdot \{\sin\alpha, -\cos\alpha\}$, где $N_B$ – проекция силы на направление OB (может быть положительной или отрицательной).

Момент силы – это векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки, относительно которой считается момент, в точку приложения силы, на вектор силы: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

Момент силы тяжести относительно точки A:

$\vec{M}_{mg} = \vec{AO} \times m\vec{g}$

$\vec{AO} = \vec{O} - \vec{A} = \{-R\sin\alpha, -R\cos\alpha\}$

$\vec{M}_{mg} = \{-R\sin\alpha, -R\cos\alpha\} \times \{0, -mg\} = (-R\sin\alpha)(-mg) - (-R\cos\alpha)(0) = mgR\sin\alpha$. (Момент направлен по оси Z, перпендикулярно плоскости рисунка, "от нас", если считать вращение по часовой стрелке отрицательным).

Момент силы реакции $\vec{N}_B$ относительно точки A:

$\vec{M}_{N_B} = \vec{AB} \times \vec{N}_B$

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \{0, -2R\cos\alpha\}$

$\vec{M}_{N_B} = \{0, -2R\cos\alpha\} \times \{N_B\sin\alpha, -N_B\cos\alpha\} = (0)(-N_B\cos\alpha) - (-2R\cos\alpha)(N_B\sin\alpha) = 2RN_B\sin\alpha\cos\alpha$. (Момент направлен по оси Z "к нам").

Условие равновесия моментов:

$mgR\sin\alpha + 2RN_B\sin\alpha\cos\alpha = 0$

Поскольку по условию $\alpha \neq 0$, то $\sin\alpha \neq 0$. Сокращаем на $R\sin\alpha$:

$mg + 2N_B\cos\alpha = 0$

$N_B = -\frac{mg}{2\cos\alpha}$

Знак "минус" означает, что сила реакции гвоздя B, действующая на обруч, $\vec{N}_B$, направлена противоположно вектору радиуса OB, то есть к центру обруча О. Физически это означает, что гвоздь B "притягивает" обруч, а не отталкивает его.

Сила давления обруча на гвоздь в точке B, $F_{давл B}$, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции $\vec{N}_B$.

Следовательно, сила давления на гвоздь направлена от центра обруча вдоль радиуса OB, а её модуль равен:

$F_{давл B} = |N_B| = \left|-\frac{mg}{2\cos\alpha}\right| = \frac{mg}{2\cos\alpha}$

Ответ: Сила давления на гвоздь в точке B направлена радиально от центра обруча и по модулю равна $F = \frac{mg}{2\cos\alpha}$.