Номер 371, страница 53, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетическая теория газа - номер 371, страница 53.

Условие.

371. [305] Докажите, что при любом абсолютно упругом ударе молекулы о стенку на стенку действует перпендикулярная ей сила.

Решение.

Решение

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение молекулы со стенкой. Для доказательства введем систему координат. Пусть ось $Ox$ будет перпендикулярна стенке, а оси $Oy$ и $Oz$ лежат в плоскости стенки. Таким образом, вектор нормали к стенке сонаправлен с осью $Ox$.

Пусть до столкновения молекула массой $\text{m}$ имела скорость $\vec{v}$ с компонентами $(v_x, v_y, v_z)$. Ее импульс до удара равен $\vec{p} = m\vec{v}$.

После столкновения скорость молекулы стала $\vec{v}'$ с компонентами $(v'_x, v'_y, v'_z)$. Ее импульс после удара равен $\vec{p}' = m\vec{v}'$.

При взаимодействии молекулы с гладкой стенкой (пренебрегая трением) сила, действующая на молекулу со стороны стенки, направлена по нормали к поверхности, то есть вдоль оси $Ox$. Это означает, что проекции силы на оси $Oy$ и $Oz$ равны нулю. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме ($ \Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t $), изменение проекций импульса молекулы на эти оси также будет равно нулю:

$\Delta p_y = mv'_y - mv_y = 0 \implies v'_y = v_y$

$\Delta p_z = mv'_z - mv_z = 0 \implies v'_z = v_z$

Таким образом, компоненты скорости, параллельные стенке, при упругом ударе не изменяются.

По определению абсолютно упругого удара, кинетическая энергия системы сохраняется. Так как стенка считается неподвижной, сохраняется кинетическая энергия молекулы:

$K_{до} = K_{после}$

$\frac{m v^2}{2} = \frac{m (v')^2}{2}$

$v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = (v'_x)^2 + (v'_y)^2 + (v'_z)^2$

Подставив ранее полученные равенства $v'_y = v_y$ и $v'_z = v_z$, получаем:

$v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = (v'_x)^2 + v_y^2 + v_z^2$

$v_x^2 = (v'_x)^2$

Это уравнение имеет два решения: $v'_x = v_x$ и $v'_x = -v_x$. Первое решение ($v'_x = v_x$) означает, что молекула не взаимодействовала со стенкой и прошла сквозь нее, что не соответствует условию задачи. Следовательно, физически верным является второе решение:

$v'_x = -v_x$

Это означает, что перпендикулярная стенке компонента скорости меняет свое направление на противоположное, сохраняя при этом свою величину.

Теперь найдем изменение импульса молекулы в результате столкновения:

$\Delta \vec{p} = \vec{p}' - \vec{p} = m(\vec{v}' - \vec{v})$

Найдем проекции вектора изменения импульса на оси координат:

$\Delta p_x = m(v'_x - v_x) = m(-v_x - v_x) = -2mv_x$

$\Delta p_y = m(v'_y - v_y) = m(v_y - v_y) = 0$

$\Delta p_z = m(v'_z - v_z) = m(v_z - v_z) = 0$

Таким образом, вектор изменения импульса молекулы $\Delta \vec{p}$ имеет только одну ненулевую компоненту $\Delta p_x$ и, следовательно, направлен перпендикулярно стенке (вдоль оси $Ox$ в отрицательном направлении).

Согласно второму закону Ньютона, средняя сила $\vec{F}_{мол}$, действующая на молекулу со стороны стенки во время удара, связана с изменением импульса соотношением $\vec{F}_{мол} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$, где $\Delta t$ — время взаимодействия. Так как вектор $\Delta \vec{p}$ перпендикулярен стенке, то и сила $\vec{F}_{мол}$ также перпендикулярна стенке.

Согласно третьему закону Ньютона, сила $\vec{F}_{ст}$, действующая на стенку со стороны молекулы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, действующей на молекулу:

$\vec{F}_{ст} = -\vec{F}_{мол} = -\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$

Поскольку вектор $\vec{F}_{мол}$ перпендикулярен стенке, то и вектор $\vec{F}_{ст}$ также перпендикулярен стенке (он направлен в противоположную сторону, то есть вглубь стенки, но вдоль той же прямой — нормали к поверхности).

Таким образом, доказано, что при любом абсолютно упругом ударе молекулы о стенку на стенку действует перпендикулярная ей сила.

Ответ: Доказательство основано на законах сохранения импульса и энергии. При абсолютно упругом ударе молекулы о гладкую стенку изменяется только та компонента ее импульса, которая перпендикулярна стенке. Согласно второму закону Ньютона, сила, вызвавшая это изменение импульса, также направлена перпендикулярно стенке. По третьему закону Ньютона, сила, действующая со стороны молекулы на стенку, равна по модулю и противоположна по направлению, а значит, тоже перпендикулярна стенке.