Номер 378, страница 54, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Температура. Энергия теплового движения молекул - номер 378, страница 54.

Условие.

378. [312] В сосуде находится газ. Как изменятся его давление и температура, если средняя скорость молекул увеличится на 30 % ?

Решение.

Дано:

$v_{2} = v_{1} + 0.3 \cdot v_{1} = 1.3 \cdot v_{1}$

Найти:

$\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%$ - ?

$\frac{\Delta T}{T_1} \cdot 100\%$ - ?

Решение:

В контексте молекулярно-кинетической теории под "средней скоростью" обычно понимают среднюю квадратичную скорость ($v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}$), так как именно она напрямую связана с макроскопическими параметрами газа — температурой и давлением.

Абсолютная температура газа ($\text{T}$) прямо пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения его молекул, а следовательно, и квадрату средней квадратичной скорости:

$T \propt°\overline{E_k} = \frac{1}{2}m_0\overline{v^2}$

Следовательно, $T \propt°\overline{v^2}$.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление ($\text{p}$), концентрацию ($\text{n}$), массу молекулы ($m_0$) и средний квадрат скорости:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Поскольку газ находится в закрытом сосуде, его концентрация $\text{n}$ (количество молекул в единице объема) остается постоянной. Таким образом, давление газа также прямо пропорционально квадрату средней квадратичной скорости:

$p \propt°\overline{v^2}$

Найдем, как изменятся температура и давление. Отношение конечного значения к начальному для обеих величин будет одинаковым, так как обе они пропорциональны квадрату скорости:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} = \frac{\overline{v_2^2}}{\overline{v_1^2}} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

По условию, скорость увеличилась на 30%, то есть $\frac{v_2}{v_1} = 1.3$. Подставим это значение в соотношение:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} = (1.3)^2 = 1.69$

Это означает, что и температура, и давление увеличатся в 1.69 раза.

Теперь найдем процентное изменение. Для температуры:

$\frac{\Delta T}{T_1} \cdot 100\% = \frac{T_2 - T_1}{T_1} \cdot 100\% = (\frac{T_2}{T_1} - 1) \cdot 100\% = (1.69 - 1) \cdot 100\% = 69\%$

Аналогично для давления:

$\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\% = \frac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100\% = (\frac{p_2}{p_1} - 1) \cdot 100\% = (1.69 - 1) \cdot 100\% = 69\%$

Ответ: давление и температура газа увеличатся на 69%.