Номер 381, страница 54, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Температура. Энергия теплового движения молекул - номер 381, страница 54.

Условие.

381. [315] Оцените число молекул воздуха, попадающих на $1 \text{ см}^2$ стены комнаты за $1 \text{ мин}$. Температура воздуха в комнате $27 ^\circ\text{C}$, давление $10^5 \text{ Па}$, молярная масса воздуха $0,03 \text{ кг/моль}$.

Решение.

Дано:

Площадь стены: $S = 1 \text{ см}^2$
Время: $t = 1 \text{ мин}$
Температура воздуха: $T_C = 27 \,^{\circ}\text{C}$
Давление: $P = 10^5 \text{ Па}$
Молярная масса воздуха: $M = 0,03 \text{ кг/моль}$

Перевод в систему СИ:
$S = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$
$t = 1 \cdot 60 \text{ с} = 60 \text{ с}$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$P = 10^5 \text{ Па}$
$M = 0,03 \text{ кг/моль}$
Постоянные:
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$
Постоянная Больцмана: $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Найти:

$\text{N}$ — число молекул воздуха, попадающих на заданную площадь стены за указанное время.

Решение:

Общее число молекул $\text{N}$, ударяющихся о площадку $\text{S}$ за время $\text{t}$, можно определить по формуле:

$N = Z \cdot S \cdot t$

где $\text{Z}$ — это поток частиц, то есть число молекул, ударяющихся о единицу площади поверхности в единицу времени. Для идеального газа поток частиц равен:

$Z = \frac{1}{4} n \langle v \rangle$

Здесь $\text{n}$ — концентрация молекул (число молекул в единице объема), а $\langle v \rangle$ — их средняя арифметическая скорость.

Концентрацию молекул $\text{n}$ найдем из уравнения состояния идеального газа в форме $P = nkT$, где $\text{P}$ — давление, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, $\text{T}$ — абсолютная температура:

$n = \frac{P}{kT}$

Средняя арифметическая скорость молекул газа определяется из молекулярно-кинетической теории:

$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$

где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{M}$ — молярная масса газа.

Теперь проведем вычисления.

1. Вычислим концентрацию молекул воздуха:

$n = \frac{10^5 \text{ Па}}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{10^5}{4,14 \cdot 10^{-21}} \approx 2,415 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

2. Вычислим среднюю арифметическую скорость молекул воздуха:

$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 300 \text{ К}}{\pi \cdot 0,03 \text{ кг/моль}}} = \sqrt{\frac{19944}{0,0942}} \approx \sqrt{211719} \approx 460 \text{ м/с}$

3. Вычислим поток частиц $\text{Z}$:

$Z = \frac{1}{4} \cdot (2,415 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}) \cdot 460 \text{ м/с} \approx 2,78 \cdot 10^{27} \text{ м}^{-2}\cdot\text{с}^{-1}$

4. Наконец, вычислим искомое общее число молекул $\text{N}$:

$N = Z \cdot S \cdot t = (2,78 \cdot 10^{27} \text{ м}^{-2}\cdot\text{с}^{-1}) \cdot (10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (60 \text{ с}) = 166,8 \cdot 10^{23} \approx 1,67 \cdot 10^{25}$

Ответ: $N \approx 1,7 \cdot 10^{25}$ молекул.