Номер 541, страница 74, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электрическое поле - номер 541, страница 74.

Условие.

541. [462] Определите напряжённость поля, создаваемого двумя точечными зарядами $q_1 = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$ и $q_2 = -4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$ (рис. 112), на оси симметрии в точке А на расстоянии 10 см от линии, соединяющей заряды. Расстояние между зарядами 20 см.

Рис. 112

Решение.

Дано

$q_1 = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл

$q_2 = -4 \cdot 10^{-7}$ Кл

$h = 10$ см

$d = 20$ см

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$h = 0.1$ м

$d = 0.2$ м

Найти:

$E_A$ - ?

Решение

Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость электрического поля в точке А равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E}_A = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Точка А находится на оси симметрии, то есть на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка, соединяющего заряды. Расстояние от каждого заряда до точки А одинаково и может быть найдено по теореме Пифагора. Половина расстояния между зарядами равна $d/2 = 20 \text{ см} / 2 = 10 \text{ см} = 0.1$ м.

$r = r_1 = r_2 = \sqrt{h^2 + (d/2)^2} = \sqrt{(0.1 \text{ м})^2 + (0.1 \text{ м})^2} = \sqrt{0.01 \text{ м}^2 + 0.01 \text{ м}^2} = \sqrt{0.02 \text{ м}^2} = 0.1\sqrt{2}$ м.

Модули напряжённостей полей, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$, равны, так как модули зарядов и расстояния до точки А одинаковы:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}}{0.02 \text{ м}^2} = 1.8 \cdot 10^5$ В/м.

Вектор напряжённости $\vec{E}_1$ от положительного заряда $q_1$ направлен от заряда. Вектор $\vec{E}_2$ от отрицательного заряда $q_2$ направлен к заряду. При сложении этих векторов их вертикальные составляющие (направленные вдоль оси симметрии) взаимно уничтожаются, так как они равны по модулю и противоположны по направлению. Горизонтальные составляющие (направленные параллельно линии, соединяющей заряды) складываются, так как они направлены в одну сторону (от $q_1$ к $q_2$).

Результирующая напряженность $E_A$ будет равна сумме проекций векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ на горизонтальную ось:

$E_A = E_{1x} + E_{2x} = E_1 \cos\alpha + E_2 \cos\alpha = 2E \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором напряженности и горизонтальной осью.

Из геометрии задачи (прямоугольного треугольника) видно, что:

$\cos\alpha = \frac{d/2}{r} = \frac{0.1 \text{ м}}{0.1\sqrt{2} \text{ м}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь можем рассчитать результирующую напряженность:

$E_A = 2 \cdot (1.8 \cdot 10^5 \text{ В/м}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot 1.8 \cdot 10^5 \text{ В/м} \approx 1.414 \cdot 1.8 \cdot 10^5 \text{ В/м} \approx 2.55 \cdot 10^5$ В/м.

Ответ: Напряжённость поля в точке А составляет приблизительно $2.55 \cdot 10^5$ В/м и направлена параллельно линии, соединяющей заряды, в сторону отрицательного заряда.