Номер 535, страница 73, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электрический заряд. Закон Кулона - номер 535, страница 73.

Условие.

535. [456] В вершинах квадрата находятся одинаковые положительные заряды $\text{q}$. Какой заряд нужно поместить в центр квадрата, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?

Решение.

Какой заряд нужно поместить в центр квадрата, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Дано:

Заряды в вершинах квадрата: $q_1 = q_2 = q_3 = q_4 = q$ $(q > 0)$
Сторона квадрата: $\text{a}$
Заряд в центре квадрата: $\text{Q}$

Найти:

$\text{Q}$ - величину заряда в центре квадрата для равновесия системы.

Решение:

Для того чтобы вся система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех электростатических сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю. В силу симметрии системы достаточно рассмотреть условие равновесия для одного из зарядов в вершине квадрата.
Пусть заряды $\text{q}$ расположены в вершинах 1, 2, 3, 4. Рассмотрим силы, действующие на заряд в вершине 1. На него действуют силы отталкивания со стороны зарядов в вершинах 2, 3 и 4.
Силы со стороны двух соседних зарядов (в вершинах 2 и 4), расположенных на расстоянии $\text{a}$, равны по модулю:
$F_{21} = F_{41} = k \frac{q \cdot q}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$
Эти силы направлены вдоль сторон квадрата, и угол между ними равен $90^\circ$. Их векторная сумма $\vec{F}_{24 \t°1}$ направлена по диагонали квадрата от центра. Ее модуль находится по правилу сложения векторов:
$|\vec{F}_{24 \t°1}| = \sqrt{F_{21}^2 + F_{41}^2} = \sqrt{\left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2 + \left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2} = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$
Сила со стороны диагонально противоположного заряда (в вершине 3), расположенного на расстоянии $a\sqrt{2}$, также направлена по диагонали от центра:
$F_{31} = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$
Суммарная сила отталкивания $\vec{F}_{отт}$, действующая на заряд в вершине 1 со стороны трех других зарядов, направлена по диагонали от центра и равна сумме модулей сил $\vec{F}_{24 \t°1}$ и $\vec{F}_{31}$, так как они сонаправлены:
$F_{отт} = |\vec{F}_{24 \t°1}| + F_{31} = k \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2} + k \frac{q^2}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = k \frac{q^2}{2a^2} (2\sqrt{2} + 1)$
Для равновесия эта суммарная сила отталкивания должна быть уравновешена силой со стороны центрального заряда $\text{Q}$. Следовательно, сила со стороны заряда $\text{Q}$ должна быть силой притяжения, а значит, заряд $\text{Q}$ должен быть отрицательным.
Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Сила притяжения $F_{прит}$, действующая на заряд в вершине со стороны заряда $\text{Q}$, равна:
$F_{прит} = k \frac{|Q|q}{r^2} = k \frac{|Q|q}{(a/\sqrt{2})^2} = k \frac{2|Q|q}{a^2}$
Из условия равновесия $F_{отт} = F_{прит}$:
$k \frac{q^2}{2a^2} (2\sqrt{2} + 1) = k \frac{2|Q|q}{a^2}$
Сократив общие множители ($k, q, a^2$), получим:
$\frac{q}{2} (2\sqrt{2} + 1) = 2|Q|$
$|Q| = \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1)$
Так как заряд $\text{Q}$ отрицательный:
$Q = - \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1)$
При таком значении $\text{Q}$ заряды в вершинах будут в равновесии. Центральный заряд $\text{Q}$ также будет находиться в равновесии, так как силы, действующие на него со стороны четырех одинаковых зарядов в вершинах, симметрично расположены и их векторная сумма равна нулю.

Ответ: Чтобы система зарядов находилась в равновесии, в центр квадрата нужно поместить заряд $Q = - \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1)$.

Будет ли равновесие устойчивым?

Решение:

Согласно теореме Ирншоу, никакая статическая конфигурация точечных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия только под действием электростатических сил. Следовательно, данное равновесие является неустойчивым.
Можно показать это на качественном уровне. Рассмотрим, что произойдет при малом смещении одного из зарядов.
Например, сместим центральный заряд $\text{Q}$ из центра в плоскости квадрата вдоль диагонали к одной из вершин. Расстояние до этой вершины уменьшится, а до противоположной — увеличится. Сила притяжения к ближайшей вершине возрастет сильнее, чем ослабнет сила притяжения к дальней. Результирующая сила от двух зарядов на этой диагонали будет направлена в сторону смещения, то есть будет стремиться удалить заряд $\text{Q}$ еще дальше от центра. Хотя два других заряда будут создавать возвращающую силу, ее окажется недостаточно, чтобы скомпенсировать дестабилизирующий эффект. Таким образом, при смещении в плоскости квадрата возникает сила, уводящая заряд от положения равновесия.
Поскольку равновесие устойчиво только тогда, когда оно устойчиво относительно любых малых смещений, а в данном случае оно неустойчиво при смещениях в плоскости квадрата, то вся система находится в неустойчивом равновесии.

Ответ: Нет, равновесие не будет устойчивым.