Номер 538, страница 73, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электрический заряд. Закон Кулона - номер 538, страница 73.

Условие.

538. [459] Три одинаковых небольших шарика находятся в углах равностороннего треугольника и соединены одинаковыми нерастянутыми пружинами длиной 20 см (рис. 110). После того как каждому шарику сообщили заряд $2 \cdot 10^{-7}$ Кл, каждая пружина растянулась на 0,5 см. Определите жёсткость пружин.

Рис. 110

Решение.

Дано:

$l_0 = 20$ см

$q = 2 \cdot 10^{-7}$ Кл

$\Delta l = 0,5$ см

$k_e = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (константа Кулона)

Перевод в систему СИ:

$l_0 = 0,2$ м

$\Delta l = 0,005$ м

Найти:

$\text{k}$

Решение:

После того как шарикам сообщили одинаковые заряды, они начали отталкиваться друг от друга, растягивая пружины. Система пришла в равновесие, когда силы упругости пружин скомпенсировали силы электростатического отталкивания. В новом положении равновесия шарики снова образуют равносторонний треугольник, но с большей длиной стороны.

Новая длина стороны треугольника, которая также является длиной растянутой пружины, равна:

$l = l_0 + \Delta l = 0,2 \text{ м} + 0,005 \text{ м} = 0,205 \text{ м}$

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков. На него действуют две силы электростатического отталкивания от двух других шариков и две силы упругости от двух пружин, с которыми он соединен. В силу симметрии задачи, для достижения равновесия достаточно, чтобы сила упругости, возникающая в каждой пружине, уравновесила силу кулоновского отталкивания между шариками, которые эта пружина соединяет.

Таким образом, условие равновесия для любого из шариков можно записать как равенство модуля силы упругости $F_у$ и модуля силы Кулона $F_e$:

$F_у = F_e$

Сила упругости определяется по закону Гука:

$F_у = k \cdot \Delta l$

где $\text{k}$ — жёсткость пружины, а $\Delta l$ — её растяжение.

Сила электростатического отталкивания между двумя шариками определяется по закону Кулона:

$F_e = k_e \frac{q^2}{l^2}$

где $k_e$ — константа Кулона, $\text{q}$ — заряд каждого шарика, $\text{l}$ — расстояние между шариками.

Приравниваем выражения для сил:

$k \cdot \Delta l = k_e \frac{q^2}{l^2}$

Выразим отсюда искомую жёсткость пружины $\text{k}$:

$k = \frac{k_e q^2}{\Delta l \cdot l^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$k = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (2 \cdot 10^{-7} \text{ Кл})^2}{0,005 \text{ м} \cdot (0,205 \text{ м})^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-14}}{0,005 \cdot 0,042025} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k = \frac{36 \cdot 10^{-5}}{0,000210125} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \approx 1,713 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

$k \approx 1,7 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: жёсткость пружин составляет примерно 1,7 Н/м.