Номер 536, страница 73, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электрический заряд. Закон Кулона - номер 536, страница 73.

Условие.

536. [457] Два маленьких шарика с одинаковой массой, каждому из которых сообщили заряд $9 \cdot 10^{-7}$ Кл, подвешены на нитях длиной 1 м. Угол, на который разошлись нити, равен $60^{\circ}$. Определите массу шариков.

Решение.

Дано:

$q_1 = q_2 = q = 9 \cdot 10^{-7}$ Кл
$L = 1$ м
$\alpha = 60^\circ$
$k = 9 \cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$ (постоянная Кулона)
$g \approx 9.8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{m}$ — ?

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса, и сила кулоновского отталкивания $\vec{F_e}$, направленная горизонтально от другого шарика.

Поскольку система находится в равновесии, по первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
$\vec{T} + m\vec{g} + \vec{F_e} = 0$

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. Угол отклонения каждой нити от вертикали равен половине общего угла: $\beta = \alpha / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат:
Проекция на ось OY: $T \cos\beta - mg = 0$ (1)
Проекция на ось OX: $F_e - T \sin\beta = 0$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить силу натяжения $\text{T}$:
$\frac{T \sin\beta}{T \cos\beta} = \frac{F_e}{mg}$
$\tan\beta = \frac{F_e}{mg}$

Отсюда можем выразить массу шарика:
$m = \frac{F_e}{g \tan\beta}$

Сила кулоновского отталкивания определяется по закону Кулона: $F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$, где $\text{r}$ — расстояние между шариками.

Два шарика и точка подвеса образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными длине нити $\text{L}$, и углом при вершине $\alpha = 60^\circ$. Треугольник с такими параметрами является равносторонним, следовательно, расстояние между шариками $\text{r}$ равно длине нити $\text{L}$.
$r = L = 1$ м.

Тогда сила отталкивания равна:
$F_e = k \frac{q^2}{L^2}$

Подставим выражение для $F_e$ в формулу для массы:
$m = \frac{k q^2}{L^2 g \tan\beta}$

Подставим числовые значения и произведем расчет, учитывая, что $\beta = 30^\circ$:
$m = \frac{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot (9 \cdot 10^{-7} \text{ Кл})^2}{(1 \text{ м})^2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \tan(30^\circ)}$
$m = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 81 \cdot 10^{-14}}{9.8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{729 \cdot 10^{-5} \cdot \sqrt{3}}{9.8} \approx \frac{7.29 \cdot 10^{-3} \cdot 1.732}{9.8} \approx \frac{1.2627 \cdot 10^{-2}}{9.8} \approx 1.29 \cdot 10^{-3}$ кг.

Ответ: масса каждого шарика составляет приблизительно $m \approx 1.29 \cdot 10^{-3}$ кг, или 1.29 г.