Номер 539, страница 74, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электрический заряд. Закон Кулона - номер 539, страница 74.

Условие.

539. [460] Два шарика массой 10 г каждый соединены длинной ($\text{L}$) и короткой ($\text{l}$) нитями, при этом $L = 2l$. Заряд каждого шарика $5 \cdot 10^{-7}$ Кл. Систему начинают поднимать за середину длинной нити (рис. 111) вверх с ускорением $a = g$. Определите натяжение короткой нити, если её длина 10 см.

Рис. 111

Решение.

Дано:

$m = 10 \text{ г}$
$q = 5 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$
$l = 10 \text{ см}$
$a = g$

$m = 0.01 \text{ кг}$
$l = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$T_l$

Решение:

Согласно условию, систему поднимают за середину длинной нити $\text{L}$, причем $L=2l$. Это означает, что расстояние от точки подвеса до каждого из шариков равно $L/2 = l$. Короткая нить, соединяющая шарики, также имеет длину $\text{l}$. Таким образом, нити образуют равносторонний треугольник со стороной $\text{l}$, и все внутренние углы в нем равны $60^\circ$.

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков, например, на правый. На него действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила натяжения верхней нити $\vec{T}_{up}$, направленная вдоль нити под углом $60^\circ$ к горизонту; сила натяжения короткой (горизонтальной) нити $\vec{T}_l$, направленная горизонтально влево; сила кулоновского отталкивания $\vec{F}_e$ от другого шарика, направленная горизонтально вправо.

Запишем второй закон Ньютона для этого шарика в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Ускорение системы $\vec{a}$ направлено вертикально вверх, поэтому его компоненты равны $a_y = a = g$ и $a_x = 0$.

Проекция на ось OX:

$F_e - T_l - T_{up} \cos(60^\circ) = m a_x = 0$

Проекция на ось OY:

$T_{up} \sin(60^\circ) - mg = m a_y = mg$

Из уравнения для оси OY выразим силу натяжения верхней нити $T_{up}$:

$T_{up} \sin(60^\circ) = 2mg$

$T_{up} = \frac{2mg}{\sin(60^\circ)}$

Теперь из уравнения для оси OX выразим искомую силу натяжения короткой нити $T_l$:

$T_l = F_e - T_{up} \cos(60^\circ)$

Подставим в это выражение найденное значение $T_{up}$:

$T_l = F_e - \frac{2mg}{\sin(60^\circ)} \cos(60^\circ) = F_e - 2mg \cot(60^\circ)$

Сила кулоновского отталкивания $F_e$ вычисляется по закону Кулона:

$F_e = k \frac{q^2}{l^2}$

Подставим числовые значения. Будем использовать ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ и коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$.

$F_e = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(5 \cdot 10^{-7})^2}{(0.1)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{25 \cdot 10^{-14}}{0.01} = 225 \cdot 10^{-3} = 0.225 \text{ Н}$

Теперь вычислим второе слагаемое в выражении для $T_l$:

$2mg \cot(60^\circ) = 2 \cdot 0.01 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{0.196 \text{ Н}}{\sqrt{3}} \approx \frac{0.196 \text{ Н}}{1.732} \approx 0.113 \text{ Н}$

Наконец, находим натяжение короткой нити:

$T_l = 0.225 \text{ Н} - 0.113 \text{ Н} = 0.112 \text{ Н}$

Ответ: натяжение короткой нити составляет примерно $0.11 \text{ Н}$.