Номер 542, страница 74, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электрическое поле - номер 542, страница 74.

Условие.

542. [463] Три заряда $q_1 = q_2 = 4 \cdot 10^{-8}$ Кл и $q_3 = -8 \cdot 10^{-8}$ Кл поместили в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a = 30$ см. Определите напряжённость поля в центре треугольника.

Решение.

Дано:

$q_1 = q_2 = 4 \cdot 10^{-8}$ Кл

$q_3 = -8 \cdot 10^{-8}$ Кл

$a = 30$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.3$ м

Найти:

$\text{E}$ - напряжённость поля в центре треугольника.

Решение:

Напряжённость электрического поля в центре треугольника определяется как векторная сумма напряжённостей полей, создаваемых каждым из трёх зарядов в этой точке (принцип суперпозиции полей):

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Центр равностороннего треугольника находится на одинаковом расстоянии $\text{r}$ от каждой из его вершин. Это расстояние можно найти из геометрии треугольника. Расстояние от вершины до центра равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$ вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны треугольника:

$r = \frac{0.3}{\sqrt{3}}$ м

Тогда квадрат расстояния равен:

$r^2 = \left(\frac{0.3}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{0.09}{3} = 0.03$ м²

Теперь вычислим модули напряжённости поля для каждого заряда по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² - постоянная Кулона.

Для зарядов $q_1$ и $q_2$ модули напряжённости равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-8}}{0.03} = \frac{360}{0.03} = 12000$ В/м

Для заряда $q_3$:

$E_3 = k \frac{|q_3|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|-8 \cdot 10^{-8}|}{0.03} = \frac{720}{0.03} = 24000$ В/м

Теперь определим направления векторов. Векторы напряжённости $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены от положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ к центру. Угол между этими векторами составляет $120^\circ$. Найдём модуль их векторной суммы $\vec{E_{12}} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$ по теореме косинусов:

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos(120^\circ)}$

Поскольку $E_1 = E_2$ и $\cos(120^\circ) = -0.5$:

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2(-0.5)} = \sqrt{2E_1^2 - E_1^2} = \sqrt{E_1^2} = E_1 = 12000$ В/м

Вектор $\vec{E_{12}}$ по правилу сложения векторов (правило параллелограмма) будет направлен по биссектрисе угла между $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, то есть вдоль высоты треугольника, проведённой к стороне, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$, в сторону заряда $q_3$.

Вектор напряжённости $\vec{E_3}$ от отрицательного заряда $q_3$ направлен к этому заряду, то есть также вдоль высоты треугольника в сторону вершины с зарядом $q_3$.

Таким образом, векторы $\vec{E_{12}}$ и $\vec{E_3}$ сонаправлены. Результирующая напряжённость поля $\text{E}$ будет равна арифметической сумме их модулей:

$E = E_{12} + E_3 = E_1 + E_3 = 12000 \text{ В/м} + 24000 \text{ В/м} = 36000$ В/м

Направление результирующего вектора $\vec{E}$ совпадает с направлением от центра треугольника к вершине с отрицательным зарядом $q_3$.

Ответ: $36000$ В/м или $36$ кВ/м.