Номер 712, страница 99, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в газах - номер 712, страница 99.

Условие.

712. H Определите скорость электрона в конце свободного пробега длиной 5 мкм при напряжённости электрического поля 100 В/м. Сравните эту скорость со скоростью теплового движения, считая электронный газ идеальным газом. Температура газа $10^3 \text{ K}$.

Решение.

Дано:

Длина свободного пробега электрона, $l = 5$ мкм

Напряжённость электрического поля, $E = 100$ В/м

Температура электронного газа, $T = 10^3$ К

Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона, $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Постоянная Больцмана, $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Перевод в систему СИ:

$l = 5 \cdot 10^{-6}$ м

Найти:

$v_E$ — скорость электрона в конце свободного пробега, приобретенная под действием поля.

$v_T$ — скорость теплового движения электрона.

Сравнить $v_E$ и $v_T$.

Решение:

1. Определение скорости электрона в конце свободного пробега

На электрон в электрическом поле действует постоянная сила $F = eE$. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение $a = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$.

Движение электрона под действием этой силы является равноускоренным. Будем считать, что начальная скорость электрона в направлении поля сразу после столкновения равна нулю. Тогда скорость $v_E$, приобретенная электроном на пути $\text{l}$, находится по формуле:

$v_E^2 = 2al$

Подставим в эту формулу выражение для ускорения $\text{a}$:

$v_E = \sqrt{2 \cdot \frac{eE}{m_e} \cdot l} = \sqrt{\frac{2eEl}{m_e}}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$v_E = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 100 \text{ В/м} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{1.6 \cdot 10^{-22}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с} \approx \sqrt{1.76 \cdot 10^8} \text{ м/с} \approx 1.33 \cdot 10^4 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость, приобретенная электроном на длине свободного пробега под действием электрического поля, составляет $v_E \approx 1.33 \cdot 10^4$ м/с.

2. Сравнение со скоростью теплового движения

Для сравнения необходимо найти скорость хаотического теплового движения электронов. Рассматривая электронный газ как идеальный, мы можем определить среднеквадратичную скорость его частиц ($v_T$). Средняя кинетическая энергия теплового движения одной частицы идеального газа зависит от температуры и равна:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$

В то же время, средняя кинетическая энергия связана со среднеквадратичной скоростью соотношением:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_e v_T^2}{2}$

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем формулу для расчета скорости теплового движения:

$\frac{m_e v_T^2}{2} = \frac{3}{2}kT \implies v_T = \sqrt{\frac{3kT}{m_e}}$

Подставим числовые значения:

$v_T = \sqrt{\frac{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 10^3 \text{ К}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{4.14 \cdot 10^{-20}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с} \approx \sqrt{4.55 \cdot 10^{10}} \text{ м/с} \approx 2.13 \cdot 10^5 \text{ м/с}$

Теперь сравним полученные скорости: $v_E \approx 1.33 \cdot 10^4$ м/с и $v_T \approx 2.13 \cdot 10^5$ м/с.

Найдем их отношение:

$\frac{v_T}{v_E} = \frac{2.13 \cdot 10^5 \text{ м/с}}{1.33 \cdot 10^4 \text{ м/с}} \approx 16$

Ответ: Скорость теплового движения электронов ($v_T \approx 2.13 \cdot 10^5$ м/с) примерно в 16 раз (более чем на порядок) превышает скорость, которую электрон приобретает под действием электрического поля на длине свободного пробега ($v_E \approx 1.33 \cdot 10^4$ м/с).