Номер 810, страница 114, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи. Резонанс. Автоколебания - номер 810, страница 114.

Условие.

810. H Чему равен сдвиг фаз между током и напряжением в электрической цепи, состоящей из последовательно соединённых резистора сопротивлением 50 Ом, конденсатора ёмкостью 100 мкФ и катушки индуктивностью 0,05 Гн? Амплитудное значение напряжения 200 В, частота 50 Гц. Определите также мощность, выделяемую в цепи.

Решение.

Дано:

Сопротивление резистора, $R = 50$ Ом

Ёмкость конденсатора, $C = 100$ мкФ

Индуктивность катушки, $L = 0,05$ Гн

Амплитудное значение напряжения, $U_m = 200$ В

Частота переменного тока, $f = 50$ Гц

Перевод в систему СИ:

$C = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-4} \text{ Ф}$

Найти:

Сдвиг фаз между током и напряжением, $φ - ?$

Мощность, выделяемая в цепи, $P - ?$

Решение:

Для решения задачи сначала найдём циклическую частоту переменного тока, а также индуктивное и ёмкостное сопротивления.

Циклическая частота $ω$:

$ω = 2\pi f = 2 \cdot \pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с.

Индуктивное сопротивление $X_L$:

$X_L = ωL = 100\pi \cdot 0,05 = 5\pi \approx 15,71$ Ом.

Ёмкостное сопротивление $X_C$:

$X_C = \frac{1}{ωC} = \frac{1}{100\pi \cdot 10^{-4}} = \frac{100}{\pi} \approx 31,83$ Ом.

Сдвиг фаз между током и напряжением

Сдвиг фаз $φ$ в последовательной RLC-цепи определяется тангенсом угла, который равен отношению разности индуктивного и ёмкостного сопротивлений к активному сопротивлению:

$\text{tg} \, φ = \frac{X_L - X_C}{R}$

Подставим наши значения:

$\text{tg} \, φ = \frac{15,71 - 31,83}{50} = \frac{-16,12}{50} = -0,3224$

Теперь найдём сам угол $φ$:

$φ = \text{arctg}(-0,3224) \approx -0,312$ рад $\approx -17,9°$

Знак "минус" указывает на то, что напряжение отстаёт по фазе от тока, так как в цепи преобладает ёмкостное сопротивление ($X_C > X_L$).

Ответ: сдвиг фаз между током и напряжением равен приблизительно -0,312 рад (или -17,9°).

Мощность, выделяемая в цепи

Мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении (резисторе) и рассчитывается по формуле:

$P = I_{eff}^2 \cdot R$

где $I_{eff}$ — действующее (эффективное) значение силы тока.

Действующее значение тока можно найти через амплитудное значение тока $I_m$ по формуле $I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.

Амплитуду тока $I_m$ найдём по закону Ома для полной цепи переменного тока:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$

где $\text{Z}$ — полное сопротивление цепи (импеданс), которое вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Вычислим импеданс:

$Z = \sqrt{50^2 + (15,71 - 31,83)^2} = \sqrt{2500 + (-16,12)^2} = \sqrt{2500 + 259,86} = \sqrt{2759,86} \approx 52,53$ Ом.

Теперь найдём амплитуду тока:

$I_m = \frac{200 \text{ В}}{52,53 \text{ Ом}} \approx 3,81$ А.

Найдём действующее значение тока:

$I_{eff} = \frac{3,81 \text{ А}}{\sqrt{2}} \approx \frac{3,81}{1,414} \approx 2,69$ А.

Наконец, рассчитаем мощность, выделяемую в цепи:

$P = (2,69 \text{ А})^2 \cdot 50 \text{ Ом} \approx 7,236 \cdot 50 \approx 361,8$ Вт.

Ответ: мощность, выделяемая в цепи, равна приблизительно 361,8 Вт.