Номер 811, страница 114, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи. Резонанс. Автоколебания - номер 811, страница 114.

Условие.

811. Н В цепь переменного тока последовательно включены резистор сопротивлением 25 Ом, катушка индуктивностью 0,3 Гн и конденсатор ёмкостью 12 мкФ. Эта цепь подключена к источнику переменного тока напряжением 100 В (действующее напряжение) и частотой 50 Гц. Определите действующее значение силы тока в цепи, сдвиг фаз между током и напряжением, а также эффективное напряжение на каждом элементе цепи.

Решение.

Дано:

Сопротивление резистора, $R = 25$ Ом
Индуктивность катушки, $L = 0.3$ Гн
Ёмкость конденсатора, $C = 12$ мкФ
Действующее напряжение источника, $U = 100$ В
Частота переменного тока, $f = 50$ Гц

В системе СИ:
$C = 12 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

$\text{I}$ — действующее значение силы тока в цепи
$\phi$ — сдвиг фаз между током и напряжением
$U_R, U_L, U_C$ — эффективное напряжение на каждом элементе цепи

Решение:

Для решения задачи сначала определим реактивные сопротивления катушки и конденсатора, а затем полное сопротивление цепи (импеданс).

1. Вычислим угловую (циклическую) частоту переменного тока:

$\omega = 2 \pi f = 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с} \approx 314.16 \text{ рад/с}$

2. Найдем индуктивное сопротивление $X_L$ и емкостное сопротивление $X_C$:

Индуктивное сопротивление: $X_L = \omega L = 100\pi \text{ рад/с} \cdot 0.3 \text{ Гн} \approx 94.25 \text{ Ом}$

Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \text{ рад/с} \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 265.26 \text{ Ом}$

3. Определим полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ по формуле для последовательной RLC-цепи:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{25^2 + (94.25 - 265.26)^2}$

$Z = \sqrt{625 + (-171.01)^2} = \sqrt{625 + 29244.4} \approx \sqrt{29869.4} \approx 172.8 \text{ Ом}$

Теперь мы можем найти требуемые величины.

Действующее значение силы тока в цепи

Согласно закону Ома для цепи переменного тока, действующее значение силы тока $\text{I}$ равно отношению действующего напряжения $\text{U}$ к полному сопротивлению цепи $\text{Z}$.

$I = \frac{U}{Z} = \frac{100 \text{ В}}{172.8 \text{ Ом}} \approx 0.579 \text{ А}$

Ответ: Действующее значение силы тока в цепи составляет примерно $0.58$ А.

Сдвиг фаз между током и напряжением

Сдвиг фаз $\phi$ между колебаниями напряжения и тока определяется тангенсом угла, который равен отношению разности индуктивного и емкостного сопротивлений к активному сопротивлению.

$\text{tg} \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{94.25 \text{ Ом} - 265.26 \text{ Ом}}{25 \text{ Ом}} = \frac{-171.01}{25} \approx -6.84$

Сам угол сдвига фаз равен:

$\phi = \text{arctg}(-6.84) \approx -81.7^\circ$

Так как $X_C > X_L$, реактивное сопротивление носит емкостный характер. Отрицательный знак для $\phi$ означает, что колебания напряжения на зажимах цепи отстают по фазе от колебаний силы тока.

Ответ: Сдвиг фаз между током и напряжением составляет $\phi \approx -81.7^\circ$ (напряжение отстает от тока).

Эффективное напряжение на каждом элементе цепи

Эффективное (действующее) напряжение на каждом из последовательно соединенных элементов цепи определяется по закону Ома для соответствующего элемента, используя найденное действующее значение тока $I \approx 0.579$ А.

Напряжение на резисторе:

$U_R = I \cdot R = 0.579 \text{ А} \cdot 25 \text{ Ом} \approx 14.5 \text{ В}$

Напряжение на катушке индуктивности:

$U_L = I \cdot X_L = 0.579 \text{ А} \cdot 94.25 \text{ Ом} \approx 54.6 \text{ В}$

Напряжение на конденсаторе:

$U_C = I \cdot X_C = 0.579 \text{ А} \cdot 265.26 \text{ Ом} \approx 153.6 \text{ В}$

Ответ: Эффективное напряжение на резисторе $U_R \approx 14.5$ В, на катушке индуктивности $U_L \approx 54.6$ В, на конденсаторе $U_C \approx 153.6$ В.