Номер 809, страница 114, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи. Резонанс. Автоколебания - номер 809, страница 114.

Условие.

809 H. В электрической цепи ток и напряжение изменяются по законам $I = 50\cos(100\pi t)$ (А) и $U = 30\cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$ (В). Найдите мощность, выделяемую в цепи.

Решение.

Дано

Закон изменения тока: $I(t) = 50\cos(100\pi t)$ (А)
Закон изменения напряжения: $U(t) = 30\cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$ (В)

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Мощность, выделяемую в цепи: $\text{P}$ - ?

Решение

Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока за период, вычисляется по формуле:
$P = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\varphi)$
где $U_{eff}$ и $I_{eff}$ — действующие (эффективные) значения напряжения и тока, а $\varphi$ — сдвиг фаз между напряжением и током.

Действующие значения связаны с амплитудными ($U_m$, $I_m$) следующими соотношениями:
$U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$
$I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Подставив эти выражения в формулу мощности, получим формулу для расчета через амплитудные значения:
$P = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_m}{\sqrt{2}} \cdot \cos(\varphi) = \frac{1}{2} U_m I_m \cos(\varphi)$

Из заданных уравнений для тока и напряжения определим амплитудные значения и фазы. Общий вид уравнения колебаний: $x(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0)$.

Для тока $I(t) = 50\cos(100\pi t)$:
Амплитудное значение тока $I_m = 50$ А.
Начальная фаза тока $\varphi_I = 0$.

Для напряжения $U(t) = 30\cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$:
Амплитудное значение напряжения $U_m = 30$ В.
Начальная фаза напряжения $\varphi_U = \frac{\pi}{3}$.

Сдвиг фаз $\varphi$ равен разности фаз напряжения и тока:
$\varphi = \varphi_U - \varphi_I = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$ рад.

Теперь можем рассчитать мощность, подставив все значения в формулу:
$P = \frac{1}{2} \cdot 30 \text{ В} \cdot 50 \text{ А} \cdot \cos(\frac{\pi}{3})$
Значение косинуса угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) равно $\frac{1}{2}$.
$P = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1500}{4} = 375$ Вт.

Ответ: $375$ Вт.