Номер 802, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи. Резонанс. Автоколебания - номер 802, страница 113.

Условие.

802. [659] К источнику переменного напряжения с амплитудой 220 В и частотой 50 Гц подключили конденсатор ёмкостью 10 мкФ. Запишите закон изменения заряда конденсатора и силы тока, идущего по цепи, от времени.

Решение.

Дано:

Амплитуда напряжения, $U_m = 220$ В

Частота переменного тока, $f = 50$ Гц

Ёмкость конденсатора, $C = 10$ мкФ

Перевод в систему СИ:

$C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

Закон изменения заряда конденсатора, $q(t) - ?$

Закон изменения силы тока, $i(t) - ?$

Решение:

Напряжение на источнике переменного тока изменяется по гармоническому закону. Предположим, что начальная фаза колебаний равна нулю. Тогда закон изменения напряжения со временем имеет вид:

$u(t) = U_m \sin(\omega t)$

где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота. Циклическая частота связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi$ рад/с

Таким образом, уравнение для напряжения в цепи:

$u(t) = 220 \sin(100\pi t)$ (В)

Закон изменения заряда конденсатора

Заряд на обкладках конденсатора в любой момент времени $\text{t}$ прямо пропорционален напряжению на нем и емкости конденсатора:

$q(t) = C \cdot u(t)$

Подставив выражение для $u(t)$, получим закон изменения заряда:

$q(t) = C \cdot U_m \sin(\omega t)$

Это уравнение описывает колебания заряда, где амплитудное значение заряда $q_m$ равно:

$q_m = C \cdot U_m = 10^{-5} \text{ Ф} \cdot 220 \text{ В} = 2.2 \cdot 10^{-3}$ Кл

Подставив численные значения в формулу для $q(t)$, получаем искомый закон.

Ответ: закон изменения заряда конденсатора: $q(t) = 2.2 \cdot 10^{-3} \sin(100\pi t)$ (Кл).

Закон изменения силы тока, идущего по цепи

Сила тока в цепи по определению является первой производной от заряда по времени:

$i(t) = q'(t) = \frac{dq(t)}{dt}$

Возьмем производную от найденного в предыдущем пункте выражения для заряда $q(t)$:

$i(t) = \frac{d}{dt} (q_m \sin(\omega t)) = q_m \omega \cos(\omega t)$

Амплитудное значение силы тока $I_m$ равно:

$I_m = q_m \cdot \omega = 2.2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл} \cdot 100\pi \text{ рад/с} = 0.22\pi \text{ А}$

Приблизительное значение амплитуды тока:

$I_m \approx 0.22 \cdot 3.14159 \approx 0.69$ А

Таким образом, искомый закон изменения силы тока. Заметим, что колебания тока, описываемые функцией косинуса, опережают по фазе на $\pi/2$ колебания напряжения, описываемые функцией синуса.

Ответ: закон изменения силы тока: $i(t) = 0.22\pi \cos(100\pi t)$ (А), или $i(t) \approx 0.69 \cos(100\pi t)$ (А).