Номер 798, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи. Резонанс. Автоколебания - номер 798, страница 113.

Условие.

798. H Расстояние между обкладками конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряже-ния $U_0$, изменяется по закону $d = d_0 + D\cos\omega t$, $d_0 \gg D$. Площадь обкладок $\text{S}$. Определите силу тока, идущего по цепи. Активным сопротивлением провод-ников можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Напряжение источника: $U_0$

Закон изменения расстояния между обкладками: $d(t) = d_0 + D\cos(\omega t)$

Условие малости амплитуды колебаний: $d_0 \gg D$

Площадь обкладок конденсатора: $\text{S}$

Активным сопротивлением проводников можно пренебречь.

Найти:

Силу тока, идущего по цепи: $I(t)$

Решение:

Сила тока в цепи по определению равна производной от заряда на обкладках конденсатора по времени:

$I(t) = \frac{dq(t)}{dt}$

Заряд на конденсаторе связан с его ёмкостью $\text{C}$ и напряжением $\text{U}$ на нём соотношением $q = C \cdot U$. Поскольку конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения $U_0$, то напряжение на обкладках постоянно и равно $U_0$.

$q(t) = C(t) \cdot U_0$

Ёмкость плоского конденсатора зависит от площади обкладок $\text{S}$ и расстояния между ними $\text{d}$. Считая, что диэлектриком является вакуум (или воздух), запишем формулу для ёмкости:

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$, где $\varepsilon_0$ — диэлектрическая постоянная.

Так как расстояние $\text{d}$ изменяется со временем, ёмкость конденсатора также является функцией времени:

$C(t) = \frac{\varepsilon_0 S}{d(t)} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_0 + D\cos(\omega t)}$

Тогда заряд на обкладках конденсатора в любой момент времени $\text{t}$ равен:

$q(t) = \frac{\varepsilon_0 S U_0}{d_0 + D\cos(\omega t)}$

Теперь найдём силу тока, продифференцировав выражение для заряда по времени:

$I(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\varepsilon_0 S U_0}{d_0 + D\cos(\omega t)} \right)$

Вынесем постоянные множители за знак производной:

$I(t) = \varepsilon_0 S U_0 \frac{d}{dt} \left( (d_0 + D\cos(\omega t))^{-1} \right)$

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

$I(t) = \varepsilon_0 S U_0 \left( -1 \cdot (d_0 + D\cos(\omega t))^{-2} \cdot \frac{d}{dt}(d_0 + D\cos(\omega t)) \right)$

$I(t) = -\varepsilon_0 S U_0 (d_0 + D\cos(\omega t))^{-2} \cdot (-D\omega\sin(\omega t))$

$I(t) = \frac{\varepsilon_0 S U_0 D \omega \sin(\omega t)}{(d_0 + D\cos(\omega t))^2}$

Согласно условию задачи, $d_0 \gg D$. Это означает, что амплитуда колебаний расстояния $\text{D}$ много меньше среднего расстояния $d_0$. Следовательно, в знаменателе можно пренебречь слагаемым $D\cos(\omega t)$ по сравнению с $d_0$:

$d_0 + D\cos(\omega t) \approx d_0$

Тогда выражение для силы тока упрощается:

$I(t) \approx \frac{\varepsilon_0 S U_0 D \omega \sin(\omega t)}{d_0^2}$

Это и есть искомая сила тока в цепи.

Ответ: $I(t) \approx \frac{\varepsilon_0 S U_0 D \omega \sin(\omega t)}{d_0^2}$