Номер 799, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи. Резонанс. Автоколебания - номер 799, страница 113.

Условие.

799. [656] Действующее напряжение в сети переменного тока с периодом $\text{T}$ равно 100 В. Какую часть полупериода горит включённая в эту сеть неоновая лампочка, если она зажигается при напряжении 70 В?

Решение.

Дано:

$U_{действ} = 100 \text{ В}$

$U_{заж} = 70 \text{ В}$

Период переменного тока – $\text{T}$

Найти:

Какую часть полупериода $(\frac{\Delta t}{T/2})$ горит лампочка.

Решение:

Мгновенное значение напряжения в сети переменного тока изменяется по синусоидальному закону:

$u(t) = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ – амплитудное (максимальное) значение напряжения, а $\omega = \frac{2\pi}{T}$ – циклическая частота.

Действующее значение напряжения $U_{действ}$ связано с амплитудным соотношением:

$U_{действ} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

Отсюда найдем амплитудное значение напряжения в сети:

$U_m = U_{действ} \cdot \sqrt{2} = 100\sqrt{2} \text{ В} \approx 141,4 \text{ В}$.

Неоновая лампочка зажигается и горит, когда мгновенное напряжение на ней по модулю $|u(t)|$ достигает или превышает напряжение зажигания $U_{заж}$.

Рассмотрим один полупериод, в течение которого напряжение положительно (например, от $t=0$ до $t=T/2$). В этом интервале условие горения лампочки имеет вид:

$u(t) \ge U_{заж}$

$U_m \sin(\omega t) \ge U_{заж}$

Лампочка зажигается в момент времени $t_1$ и гаснет в момент $t_2$, когда мгновенное напряжение равно напряжению зажигания. Найдем фазу $\phi = \omega t$, при которой это происходит:

$\sin(\phi) = \frac{U_{заж}}{U_m} = \frac{70}{100\sqrt{2}} = \frac{7}{10\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{20} \approx \frac{7 \cdot 1,414}{20} \approx 0,495$.

Это значение очень близко к $0,5$. Напряжение, соответствующее $\sin(\phi) = 0,5$, равно $U = U_m \cdot 0,5 = 100\sqrt{2} \cdot 0,5 = 50\sqrt{2} \approx 70,7 \text{ В}$. Эта величина практически совпадает с заданным напряжением зажигания $70 \text{ В}$. Поэтому для решения задачи можно с высокой точностью принять, что $\sin(\phi) = 1/2$.

Найдем моменты времени (в виде фаз) в течение одного полупериода (фаза изменяется от $\text{0}$ до $\pi$), когда $\sin(\phi) = 1/2$.

Первый раз это происходит при фазе $\phi_1 = \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{6}$. В этот момент лампочка зажигается.

Второй раз, из-за симметрии синусоиды, это происходит при фазе $\phi_2 = \pi - \phi_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. В этот момент лампочка гаснет.

Лампочка горит в интервале фаз от $\phi_1$ до $\phi_2$. Длительность этого интервала фаз равна:

$\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Полный интервал фаз для одного полупериода равен $\pi$. Чтобы найти, какую часть полупериода горит лампочка, нужно найти отношение длительности интервала горения к длительности полупериода (в фазах):

$\frac{\Delta\phi}{\pi} = \frac{2\pi/3}{\pi} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Лампочка горит 2/3 полупериода.