Номер 795, страница 112, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания - номер 795, страница 112.

Условие.

795. [667] В колебательный контур с конденсатором ёмкостью 10 мкФ и катушкой индуктивностью 0,1 Гн последовательно включили источник переменной ЭДС. При какой частоте ЭДС амплитуда тока в контуре будет максимальной?

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 10 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 0,1 \text{ Гн}$

Перевод в систему СИ:

$C = 10 \times 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

Частоту переменной ЭДС, при которой амплитуда тока будет максимальной, $\nu_{рез}$ - ?

Решение:

Амплитуда тока в колебательном контуре, подключенном к источнику переменной ЭДС, будет максимальной при наступлении явления резонанса. Резонанс в электрической цепи возникает, когда частота внешнего переменного напряжения (ЭДС) совпадает с собственной частотой колебаний контура.

Условием резонанса в последовательном RLC-контуре (в данном случае активное сопротивление R можно считать пренебрежимо малым) является равенство индуктивного сопротивления $X_L$ и ёмкостного сопротивления $X_C$:

$X_L = X_C$

Индуктивное и ёмкостное сопротивления зависят от циклической частоты $\omega$ по формулам:

$X_L = \omega L$

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

Приравнивая их, получаем условие для резонансной циклической частоты $\omega_{рез}$:

$\omega_{рез} L = \frac{1}{\omega_{рез} C}$

Отсюда находим квадрат резонансной циклической частоты:

$\omega_{рез}^2 = \frac{1}{LC}$

Следовательно, резонансная циклическая частота равна:

$\omega_{рез} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Линейная частота $\nu$ связана с циклической частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Тогда резонансная линейная частота $\nu_{рез}$ определяется по формуле Томсона:

$\nu_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим данные из условия задачи в систему СИ:

$\nu_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,1 \text{ Гн} \cdot 10^{-5} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-3} \text{ с}}$

$\nu_{рез} = \frac{1000}{2\pi} \text{ Гц}$

Вычислим числовое значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$\nu_{рез} \approx \frac{1000}{2 \cdot 3,14} = \frac{1000}{6,28} \approx 159,2 \text{ Гц}$

Ответ: амплитуда тока в контуре будет максимальной при частоте ЭДС, равной приблизительно 159,2 Гц.