Номер 788, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания - номер 788, страница 111.

Условие.

788. [648] Колебательный контур состоит из катушки и двух конденсаторов, которые можно подключать по отдельности и параллельно. При подключении поочерёдно одного из конденсаторов периоды колебаний в колебательном контуре равны 3 и 4 с. Определите период колебаний при параллельном подключении обоих конденсаторов.

Решение.

Дано:

Период колебаний с первым конденсатором $T_1 = 3$ с
Период колебаний со вторым конденсатором $T_2 = 4$ с

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний при параллельном подключении конденсаторов $T_{пар}$ - ?

Решение:

Период электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Когда к катушке поочерёдно подключают два конденсатора с ёмкостями $C_1$ и $C_2$, периоды колебаний соответственно равны:

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2}$

Возведём оба уравнения в квадрат, чтобы выразить ёмкости $C_1$ и $C_2$:

$T_1^2 = 4\pi^2LC_1 \implies C_1 = \frac{T_1^2}{4\pi^2L}$

$T_2^2 = 4\pi^2LC_2 \implies C_2 = \frac{T_2^2}{4\pi^2L}$

При параллельном подключении конденсаторов их общая ёмкость $C_{пар}$ равна сумме ёмкостей:

$C_{пар} = C_1 + C_2$

Подставим в это уравнение выражения для $C_1$ и $C_2$:

$C_{пар} = \frac{T_1^2}{4\pi^2L} + \frac{T_2^2}{4\pi^2L} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2L}$

Период колебаний контура при параллельном подключении конденсаторов $T_{пар}$ будет равен:

$T_{пар} = 2\pi\sqrt{LC_{пар}}$

Теперь подставим в эту формулу полученное выражение для $C_{пар}$:

$T_{пар} = 2\pi\sqrt{L \cdot \frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2L}}$

Сократим индуктивность $\text{L}$ в числителе и знаменателе под корнем:

$T_{пар} = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}} = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi}$

В результате получаем простую формулу для итогового периода:

$T_{пар} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T_{пар} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ с

Ответ: 5 с.