Номер 782, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс - номер 782, страница 111.

Условие.

782. H Два пружинных маятника подвешены на одном стержне (рис. 181). Жёсткости невесомых пружин равны $200 \text{ Н/м}$ и $400 \text{ Н/м}$. Масса шарика, прикреплённого к первой пружине, равна $800 \text{ г}$. Потянув за первый шарик, пружину растягивают, затем его отпускают, и маятник колеблется. Чему равна масса второго шарика, если он через некоторое время тоже начинает колебаться без внешнего воздействия?

Рис. 181

Решение.

Дано:

Жёсткость первой пружины, $k_1 = 200 \text{ Н/м}$

Жёсткость второй пружины, $k_2 = 400 \text{ Н/м}$

Масса первого шарика, $m_1 = 800 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 800 \text{ г} = 0.8 \text{ кг}$

Найти:

Массу второго шарика, $m_2$.

Решение:

В задаче описано явление резонанса. Первый маятник, совершая колебания, действует на общий стержень, который, в свою очередь, передаёт эти колебания второму маятнику. Второй маятник начинает колебаться без непосредственного внешнего воздействия, потому что частота вынуждающей силы (колебаний первого маятника) совпадает с его собственной частотой колебаний.

Условием резонанса является равенство собственных частот колебаний двух систем. Равенство частот означает и равенство периодов колебаний.

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жёсткость пружины.

Приравняем периоды колебаний первого ($T_1$) и второго ($T_2$) маятников:

$T_1 = T_2$

Подставим формулу для периода в это равенство:

$2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$ и возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\frac{m_1}{k_1} = \frac{m_2}{k_2}$

Из этого соотношения выразим искомую массу второго шарика $m_2$:

$m_2 = m_1 \cdot \frac{k_2}{k_1}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведя массу первого шарика в килограммы:

$m_2 = 0.8 \text{ кг} \cdot \frac{400 \text{ Н/м}}{200 \text{ Н/м}} = 0.8 \text{ кг} \cdot 2 = 1.6 \text{ кг}$

Ответ: масса второго шарика равна 1.6 кг.