Номер 780, страница 110, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс - номер 780, страница 110.

Условие.

780. H С какой скоростью движется поезд в тот момент, когда математический маятник начинает активно раскачиваться? Расстояние между стыками рельсов равно 30 м. Длина нити математического маятника 40 см.

Решение.

Дано:

Расстояние между стыками рельсов, $L = 30$ м

Длина нити маятника, $l = 40$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$l = 40$ см $= 0.4$ м

Найти:

Скорость поезда, $\text{v}$ - ?

Решение:

Маятник в поезде начинает активно раскачиваться из-за явления резонанса. Резонанс наступает, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой колебаний системы. В данном случае, внешним воздействием являются периодические толчки, которые вагон поезда (и маятник в нём) получает при проезде колёсами стыков рельсов.

Период этих толчков ($T_{вын}$) — это время, за которое поезд проезжает расстояние между двумя стыками ($\text{L}$). Этот период связан со скоростью поезда ($\text{v}$) формулой:

$T_{вын} = \frac{L}{v}$

Собственный период колебаний математического маятника ($T_{с}$) зависит только от его длины ($\text{l}$) и ускорения свободного падения ($\text{g}$). Он рассчитывается по формуле периода математического маятника:

$T_{с} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Условием резонанса, при котором маятник раскачивается с максимальной амплитудой, является равенство периода вынуждающей силы собственному периоду колебаний маятника:

$T_{вын} = T_{с}$

Приравняем правые части выражений для периодов:

$\frac{L}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость поезда $\text{v}$:

$v = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$

Теперь подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$v = \frac{30 \text{ м}}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}}} \approx \frac{30}{6.28 \cdot \sqrt{0.0408 \text{ с}^2}} \approx \frac{30}{6.28 \cdot 0.202 \text{ с}} \approx \frac{30}{1.269 \text{ с}} \approx 23.64$ м/с

Часто скорость поездов измеряют в километрах в час. Переведём полученное значение:

$v = 23.64 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} \approx 85.1$ км/ч

Ответ: скорость поезда составляет примерно $23.64$ м/с, что соответствует примерно $85.1$ км/ч.