Номер 773, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 773, страница 109.

Условие.

773. [642] Небольшой шарик массой $20 \text{ г}$, подвешенный на нерастяжимой непроводящей нити, совершает колебания в однородном электрическом поле напряжённостью $20 \text{ В/м}$, силовые линии которого вертикальны. После того как ему сообщили некоторый заряд $\text{q}$, период колебаний изменился в $1.2$ раза. Определите заряд $\text{q}$.

Решение.

Дано:

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$

$E = 20 \text{ В/м}$

$k = 1.2$ (коэффициент изменения периода)

Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{q}$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника (небольшого шарика на нити) в отсутствие внешних полей определяется формулой:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Когда шарику сообщают заряд $\text{q}$, на него в однородном вертикальном электрическом поле начинает действовать электрическая сила $F_э = qE$. Эта сила также направлена по вертикали. В результате действия этой силы изменяется эффективное ускорение, действующее на шарик. Новое значение ускорения $g'$ приведет к изменению периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}}$

Выразим отношение нового периода к начальному:

$\frac{T}{T_0} = \frac{2\pi\sqrt{l/g'}}{2\pi\sqrt{l/g}} = \sqrt{\frac{g}{g'}}$

В условии сказано, что период изменился в 1.2 раза. Это может означать как его увеличение, так и уменьшение. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Период колебаний увеличился в 1.2 раза.

В этом случае $T = 1.2 \cdot T_0$, следовательно, $\frac{T}{T_0} = 1.2$.

Подставим это в наше соотношение:

$1.2 = \sqrt{\frac{g}{g'}} \implies 1.2^2 = \frac{g}{g'} \implies 1.44 = \frac{g}{g'} \implies g' = \frac{g}{1.44}$

Так как $g' < g$, это означает, что эффективное ускорение уменьшилось. Это происходит, когда электрическая сила направлена противоположно силе тяжести, то есть вверх. Тогда эффективное ускорение можно записать как:

$g' = \frac{mg - |F_э|}{m} = g - \frac{|q|E}{m}$

Приравнивая два полученных выражения для $g'$, находим модуль заряда $|q_1|$:

$\frac{g}{1.44} = g - \frac{|q_1|E}{m}$

$\frac{|q_1|E}{m} = g - \frac{g}{1.44} = g\left(1 - \frac{1}{1.44}\right) = g\frac{0.44}{1.44}$

$|q_1| = \frac{0.44 \cdot mg}{1.44 \cdot E}$

Подставим числовые значения:

$|q_1| = \frac{0.44 \cdot 0.02 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{1.44 \cdot 20 \text{ В/м}} = \frac{0.088}{28.8} \text{ Кл} \approx 0.00306 \text{ Кл} = 3.06 \text{ мКл}$

Случай 2: Период колебаний уменьшился в 1.2 раза.

В этом случае $T = \frac{T_0}{1.2}$, следовательно, $\frac{T_0}{T} = 1.2$ или $\frac{T}{T_0} = \frac{1}{1.2}$.

Подставим это в наше соотношение:

$\frac{1}{1.2} = \sqrt{\frac{g}{g'}} \implies \left(\frac{1}{1.2}\right)^2 = \frac{g}{g'} \implies \frac{1}{1.44} = \frac{g}{g'} \implies g' = 1.44g$

Так как $g' > g$, это означает, что эффективное ускорение увеличилось. Это происходит, когда электрическая сила направлена в ту же сторону, что и сила тяжести, то есть вниз. Тогда эффективное ускорение можно записать как:

$g' = \frac{mg + |F_э|}{m} = g + \frac{|q|E}{m}$

Приравнивая два полученных выражения для $g'$, находим модуль заряда $|q_2|$:

$1.44g = g + \frac{|q_2|E}{m}$

$\frac{|q_2|E}{m} = 1.44g - g = 0.44g$

$|q_2| = \frac{0.44 \cdot mg}{E}$

Подставим числовые значения:

$|q_2| = \frac{0.44 \cdot 0.02 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{20 \text{ В/м}} = \frac{0.088}{20} \text{ Кл} = 0.0044 \text{ Кл} = 4.4 \text{ мКл}$

Знак заряда будет зависеть от направления электрического поля, которое в условии не задано. Поэтому в ответе указываем возможные значения модуля заряда.

Ответ: Модуль сообщенного шарику заряда равен $|q| \approx 3.06 \text{ мКл}$ (если период колебаний увеличился) или $|q| = 4.4 \text{ мКл}$ (если период колебаний уменьшился).