Номер 770, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 770, страница 109.

Условие.

770. [639] На гладкой горизонтальной поверхности находится брусок массой $\text{m}$, соединенный с пружиной жесткостью $\text{k}$. Свободный конец пружины прикреплён к стене. В брусок попадает пуля, летящая со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, и застревает в нём (рис. 180). Масса пули, равная $m_0$, много меньше массы бруска. Определите энергию колебаний системы и запишите уравнение колебаний бруска вдоль горизонтальной оси $\text{OX}$, считая за нуль его начальное положение.

Рис. 180

Решение.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$

Масса пули: $m_0$

Начальная скорость пули: $v_0$

Угол полёта пули к горизонту: $\alpha$

Жёсткость пружины: $\text{k}$

Условие: $m_0 \ll m$

Найти:

Энергию колебаний системы $\text{E}$

Уравнение колебаний бруска $x(t)$

Решение:

Задача решается в два этапа: сначала рассматривается абсолютно неупругое столкновение пули с бруском, а затем — возникшие после этого гармонические колебания системы «брусок + пуля».

1. Столкновение пули и бруска.

Поскольку поверхность гладкая, в горизонтальном направлении на систему «пуля + брусок» внешние силы не действуют. Удар происходит очень быстро, поэтому силой упругости пружины за время удара можно пренебречь. Следовательно, для проекции на горизонтальную ось OX выполняется закон сохранения импульса.

Импульс системы до столкновения: $p_{1x} = m_0 v_{0x} + m \cdot 0 = m_0 v_0 \cos\alpha$.

После столкновения пуля застревает в бруске, и они начинают двигаться как единое целое с общей массой $(m + m_0)$ и скоростью $\text{V}$. Импульс системы после столкновения: $p_{2x} = (m + m_0)V$.

Из закона сохранения импульса $p_{1x} = p_{2x}$: $m_0 v_0 \cos\alpha = (m + m_0)V$

Скорость бруска с пулей сразу после столкновения равна: $V = \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{m + m_0}$

Так как столкновение происходит в положении равновесия бруска ($x=0$), то эта скорость $\text{V}$ является максимальной скоростью системы в процессе колебаний.

2. Энергия и уравнение колебаний.

Полная механическая энергия колебаний $\text{E}$ системы равна её максимальной кинетической энергии, которую система имеет в момент прохождения положения равновесия: $E = E_{k, \text{max}} = \frac{(m + m_0)V^2}{2}$

Подставим найденное значение скорости $\text{V}$: $E = \frac{m + m_0}{2} \left( \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{m + m_0} \right)^2 = \frac{(m_0 v_0 \cos\alpha)^2}{2(m + m_0)}$

Согласно условию, масса пули много меньше массы бруска ($m_0 \ll m$), поэтому можно считать, что $m + m_0 \approx m$. Тогда энергия колебаний: $E \approx \frac{(m_0 v_0 \cos\alpha)^2}{2m}$

Уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза.

Циклическая частота колебаний для системы массой $(m + m_0)$ на пружине жёсткостью $\text{k}$ равна: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m+m_0}} \approx \sqrt{\frac{k}{m}}$

Амплитуду колебаний найдём из равенства полной энергии и максимальной потенциальной энергии пружины: $E = \frac{k A^2}{2} \implies A = \sqrt{\frac{2E}{k}}$

Подставим выражение для энергии $\text{E}$: $A = \sqrt{\frac{2}{k} \cdot \frac{(m_0 v_0 \cos\alpha)^2}{2(m + m_0)}} = \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{\sqrt{k(m + m_0)}} \approx \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{\sqrt{km}}$

Определим начальную фазу $\varphi_0$. В начальный момент времени $t=0$ (сразу после удара) система находится в положении равновесия, т.е. $x(0) = 0$. Скорость системы в этот момент $v(0) = V > 0$.

Из условия $x(0) = A \sin(\varphi_0) = 0$ следует, что $\varphi_0 = 0$ или $\varphi_0 = \pi$.

Скорость колебаний $v(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0)$. Тогда $v(0) = A\omega \cos(\varphi_0) = V$. Поскольку $A>0, \omega>0, V>0$, то $\cos(\varphi_0)$ должен быть положительным. Этому условию удовлетворяет $\varphi_0 = 0$.

Подставляя найденные значения $\text{A}$, $\omega$ и $\varphi_0$ в общее уравнение колебаний, получаем: $x(t) = \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{\sqrt{km}} \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$

Энергия колебаний системы:

Ответ: $E = \frac{(m_0 v_0 \cos\alpha)^2}{2(m + m_0)} \approx \frac{(m_0 v_0 \cos\alpha)^2}{2m}$

Уравнение колебаний бруска:

Ответ: $x(t) = \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{\sqrt{k(m + m_0)}} \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m + m_0}} t\right) \approx \frac{m_0 v_0 \cos\alpha}{\sqrt{km}} \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$