Номер 763, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 763, страница 108.

Условие.

763. [632] Маленький шарик колеблется на нити длиной 1 м. Когда шарик проходит положение равновесия, нить цепляется за гвоздь, находящийся на расстоянии 75 см по вертикали от точки подвеса. Определите период колебаний шарика.

Решение.

Дано:

Длина нити $l_1 = 1$ м

Расстояние от точки подвеса до гвоздя $d = 75$ см

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$d = 75 \text{ см} = 0,75 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний шарика $\text{T}$ - ?

Решение:

Колебание шарика представляет собой сложный процесс, состоящий из двух частей. Когда шарик движется от крайнего положения до положения равновесия, он колеблется на нити полной длины $l_1$. Когда шарик проходит положение равновесия, нить цепляется за гвоздь, и дальнейшее движение до другого крайнего положения происходит на нити укороченной длины $l_2$.

Полный период колебаний $\text{T}$ будет равен сумме времени движения за половину периода для маятника с длиной $l_1$ и времени движения за половину периода для маятника с длиной $l_2$.

Время, за которое маятник проходит от одного крайнего положения до другого, равно половине периода. В нашем случае движение от одного крайнего положения до положения равновесия занимает четверть периода $T_1$, а от положения равновесия до другого крайнего положения — четверть периода $T_2$. Полный период будет состоять из двух таких полуколебаний:

$T = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2}$

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T_{период} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Для первой половины колебания (когда нить не задевает гвоздь) длина маятника $l_1 = 1$ м. Период этих колебаний был бы:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

Для второй половины колебания (когда нить задевает гвоздь) эффективная длина маятника $l_2$ равна разности полной длины нити и расстояния от точки подвеса до гвоздя:

$l_2 = l_1 - d = 1 \text{ м} - 0,75 \text{ м} = 0,25 \text{ м}$

Период для этой части колебаний был бы:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Теперь найдем итоговый период колебаний $\text{T}$:

$T = \frac{1}{2} T_1 + \frac{1}{2} T_2 = \frac{1}{2} \left(2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\right) + \frac{1}{2} \left(2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}\right) = \pi\left(\sqrt{\frac{l_1}{g}} + \sqrt{\frac{l_2}{g}}\right)$

Подставим числовые значения:

$T = \pi\left(\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} + \sqrt{\frac{0,25 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}}\right) = \pi\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9,8}} + \frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9,8}}\right) \text{ с} = \frac{\pi}{\sqrt{9,8}}(1 + 0,5) \text{ с} = \frac{1,5\pi}{\sqrt{9,8}} \text{ с}$

Выполним вычисления:

$T \approx \frac{1,5 \times 3,14}{3,13} \approx \frac{4,71}{3,13} \approx 1,5$ с

Ответ: Период колебаний шарика составляет примерно $1,5$ с.