Номер 762, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 762, страница 108.

Условие.

762. [631] Определите длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных колебания меньше, чем математический маятник длиной 0,6 м.

Решение.

Дано:

$t = 10$ с

$l_2 = 0.6$ м

$\Delta N = N_2 - N_1 = 4$

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$l_1$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Число полных колебаний $\text{N}$ за время $\text{t}$ связано с периодом $\text{T}$ соотношением:

$N = \frac{t}{T}$

Решим задачу по шагам:

1. Найдем период колебаний второго, известного маятника ($T_2$), длина которого $l_2 = 0.6$ м:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.6 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.06122} \, \text{с} \approx 6.28 \cdot 0.2474 \, \text{с} \approx 1.554$ с.

2. Зная период, определим, сколько колебаний ($N_2$) он совершит за время $t = 10$ с:

$N_2 = \frac{t}{T_2} = \frac{10 \, \text{с}}{1.554 \, \text{с}} \approx 6.435$

3. По условию, первый маятник совершает на $\Delta N = 4$ колебания меньше. Найдем число его колебаний ($N_1$):

$N_1 = N_2 - \Delta N = 6.435 - 4 = 2.435$

4. Теперь можно найти период колебаний первого маятника ($T_1$):

$T_1 = \frac{t}{N_1} = \frac{10 \, \text{с}}{2.435} \approx 4.107$ с.

5. Наконец, из формулы периода выразим и вычислим длину искомого первого маятника ($l_1$):

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} \implies T_1^2 = 4\pi^2\frac{l_1}{g} \implies l_1 = \frac{g T_1^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения:

$l_1 = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (4.107 \, \text{с})^2}{4 \cdot (3.14)^2} \approx \frac{9.8 \cdot 16.867}{4 \cdot 9.8596} \approx \frac{165.3}{39.4384} \approx 4.19$ м.

Ответ: длина математического маятника равна примерно 4,2 м.