Номер 766, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 766, страница 108.

Условие.

766. [635] Грузик, надетый на гладкую горизонтальную спицу, соединён с двумя невесомыми пружинами (рис. 178). Свободные концы пружин прикреплены к неподвижным стенкам. В положении равновесия пружины не деформированы. Определите пе-риод колебаний грузика, если известно, что при его поочерёдном подвешивании к каж-дой из пружин по отдельности они удлиняются соответственно на 4 и 6 см.

Рис. 178

Решение.

Дано:

Удлинение первой пружины при подвешивании грузика, $\Delta l_1 = 4$ см

Удлинение второй пружины при подвешивании грузика, $\Delta l_2 = 6$ см

Перевод в систему СИ:

$\Delta l_1 = 0.04$ м

$\Delta l_2 = 0.06$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Период колебаний грузика, $\text{T}$

Решение:

Сначала определим жесткости пружин ($k_1$ и $k_2$), используя данные о их деформации под действием веса грузика. Когда грузик массой $\text{m}$ подвешен на пружине, в состоянии равновесия сила тяжести $F_т = mg$ уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр} = k \Delta l$.

Для первой пружины: $mg = k_1 \Delta l_1$, следовательно, ее жесткость $k_1 = \frac{mg}{\Delta l_1}$.

Для второй пружины: $mg = k_2 \Delta l_2$, следовательно, ее жесткость $k_2 = \frac{mg}{\Delta l_2}$.

Теперь рассмотрим систему для горизонтальных колебаний. Когда грузик смещается из положения равновесия на расстояние $\text{x}$, одна пружина растягивается на величину $\text{x}$, а другая сжимается на ту же величину. Обе пружины создают возвращающие силы, направленные к положению равновесия.

Возвращающая сила от первой пружины: $F_1 = k_1 x$.

Возвращающая сила от второй пружины: $F_2 = k_2 x$.

Так как обе силы направлены в одну сторону (против смещения), суммарная возвращающая сила равна:

$F_{возвр} = F_1 + F_2 = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)x$.

Эта система эквивалентна одному пружинному маятнику с эффективной жесткостью $k_{эфф} = k_1 + k_2$.

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эфф}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

Подставим в эту формулу выражения для жесткостей $k_1$ и $k_2$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{\Delta l_1} + \frac{mg}{\Delta l_2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg(\frac{1}{\Delta l_1} + \frac{1}{\Delta l_2})}}$

Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для периода, не зависящую от массы:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{g(\frac{1}{\Delta l_1} + \frac{1}{\Delta l_2})}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{g(\frac{\Delta l_1 + \Delta l_2}{\Delta l_1 \Delta l_2})}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_1 \Delta l_2}{g(\Delta l_1 + \Delta l_2)}}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.04 \cdot 0.06}{9.8 \cdot (0.04 + 0.06)}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.0024}{9.8 \cdot 0.1}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.0024}{0.98}}$

$T \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.002449} \approx 6.28 \cdot 0.0495 \approx 0.31$ с.

Ответ: Период колебаний грузика составляет примерно $0.31$ с.