Номер 764, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 764, страница 108.

Условие.

764. [633] Через какой наименьший промежуток времени от начала движения из положения равновесия тело, подвешенное на нити, смещается на половину амплитуды? Данную систему нить—тело считайте математическим маятником, период колебаний которого 12 с. За какое время тело проходит остающуюся часть пути до максимального смещения?

Решение.

Дано:

Система нить-тело — математический маятник.

Период колебаний: $T = 12$ с.

Начальное условие: движение начинается из положения равновесия ($x=0$ при $t=0$).

Найти:

1. $t_1$ — наименьший промежуток времени, за который тело сместится на половину амплитуды ($x_1 = A/2$).

2. $t_2$ — время, за которое тело пройдет оставшуюся часть пути до максимального смещения (от $x_1 = A/2$ до $x_{max} = A$).

Решение:

Через какой наименьший промежуток времени от начала движения из положения равновесия тело, подвешенное на нити, смещается на половину амплитуды?

Уравнение гармонических колебаний для тела, которое начинает движение из положения равновесия, имеет вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $\text{A}$ — амплитуда колебаний, а $\omega$ — циклическая частота.

Циклическая частота связана с периодом колебаний $\text{T}$ по формуле:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставив это в уравнение движения, получим:

$x(t) = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$

Нам нужно найти время $t_1$, когда смещение $x(t_1)$ будет равно половине амплитуды, то есть $x(t_1) = \frac{A}{2}$.

Составим уравнение:

$\frac{A}{2} = A \sin(\frac{2\pi}{T} t_1)$

Сократим обе части уравнения на $\text{A}$ (поскольку $A \ne 0$):

$\sin(\frac{2\pi}{T} t_1) = \frac{1}{2}$

Для нахождения наименьшего промежутка времени $t_1 > 0$ необходимо взять наименьшее положительное значение фазы $(\frac{2\pi}{T} t_1)$, синус которого равен 1/2. Это значение равно $\frac{\pi}{6}$ радиан.

$\frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{6}$

Выразим $t_1$ из этого уравнения:

$t_1 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Подставим заданное значение периода $T = 12$ с:

$t_1 = \frac{12 \text{ с}}{12} = 1 \text{ с}$

Ответ: Тело сместится на половину амплитуды через 1 с.

За какое время тело проходит оставшуюся часть пути до максимального смещения?

Тело достигает максимального смещения (амплитуды $\text{A}$) за время, равное одной четверти периода. Обозначим это время как $t_{max}$.

$t_{max} = \frac{T}{4}$

Рассчитаем это время:

$t_{max} = \frac{12 \text{ с}}{4} = 3 \text{ с}$

Время $t_2$, за которое тело проходит вторую половину пути до максимального смещения (от $x = A/2$ до $x = A$), равно разности времени достижения максимального смещения и времени достижения половины амплитуды.

$t_2 = t_{max} - t_1$

Подставим вычисленные значения $t_{max}$ и $t_1$:

$t_2 = 3 \text{ с} - 1 \text{ с} = 2 \text{ с}$

Таким образом, на первую половину амплитуды тело затрачивает 1 с, а на вторую — 2 с. Это происходит потому, что скорость тела уменьшается по мере приближения к точке максимального отклонения.

Ответ: Оставшуюся часть пути до максимального смещения тело проходит за 2 с.